Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114695 / 49159
↖ ↑ ↗
← N 40.965382°
E135.019226°		 ← 230.63 m → N 40.965382°
E135.021973°		 →
↑
230.57 m
↓
↑
230.57 m
↓
N 40.963308°
E135.019226°		 ← 230.64 m →
53 176 m²		 N 40.963308°
E135.021973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875057220458984 y=0.375057220458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875057220458984 × 217)
    floor (0.875057220458984 × 131072)
    floor (114695.5)     		tx = 114695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375057220458984 × 217)
    floor (0.375057220458984 × 131072)
    floor (49159.5)     		ty = 49159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114695 / 49159 ti = "17/114695/49159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114695/49159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114695 ÷ 217
    114695 ÷ 131072     		x = 0.875053405761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49159 ÷ 217
    49159 ÷ 131072     		y = 0.375053405761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875053405761719 × 2 - 1) × π
    0.750106811523438 × 3.1415926535     		Λ = 2.35653005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.375053405761719 × 2 - 1) × π
    0.249893188476562 × 3.1415926535     		Φ = 0.78506260507766
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35653005} λ = 2.35653005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.78506260507766))-π/2
    2×atan(2.19254420083655)-π/2
    2×1.14288856053438-π/2
    2.28577712106877-1.57079632675     		φ = 0.71498079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35653005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.019226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71498079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.965382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114695 KachelY 49159 2.35653005 0.71498079 135.019226 40.965382
    Oben rechts KachelX + 1 114696 KachelY 49159 2.35657799 0.71498079 135.021973 40.965382
    Unten links KachelX 114695 KachelY + 1 49160 2.35653005 0.71494460 135.019226 40.963308
    Unten rechts KachelX + 1 114696 KachelY + 1 49160 2.35657799 0.71494460 135.021973 40.963308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71498079-0.71494460) × R
    3.61899999999915e-05 × 6371000     		dl = 230.566489999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71498079-0.71494460) × R
    3.61899999999915e-05 × 6371000     		dr = 230.566489999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35653005-2.35657799) × cos(0.71498079) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.755105835482803 × 6371000     		do = 230.628758580502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35653005-2.35657799) × cos(0.71494460) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.755129561257668 × 6371000     		du = 230.636005042847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71498079)-sin(0.71494460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755105835482803-0.755129561257668)×R²
    abs(2.35657799-2.35653005)×2.3725774865313e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3725774865313e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3725774865313e-05×40589641000000     		ar = 53176.0987606253m²