Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114698 / 49162
↖ ↑ ↗
← N 40.959160°
E135.027466°		 ← 230.65 m → N 40.959160°
E135.030213°		 →
↑
230.63 m
↓
↑
230.63 m
↓
N 40.957086°
E135.027466°		 ← 230.66 m →
53 196 m²		 N 40.957086°
E135.030213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875080108642578 y=0.375080108642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875080108642578 × 217)
    floor (0.875080108642578 × 131072)
    floor (114698.5)     		tx = 114698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375080108642578 × 217)
    floor (0.375080108642578 × 131072)
    floor (49162.5)     		ty = 49162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114698 / 49162 ti = "17/114698/49162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114698/49162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114698 ÷ 217
    114698 ÷ 131072     		x = 0.875076293945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49162 ÷ 217
    49162 ÷ 131072     		y = 0.375076293945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875076293945312 × 2 - 1) × π
    0.750152587890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.35667386
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.375076293945312 × 2 - 1) × π
    0.249847412109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.784918794378799
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35667386} λ = 2.35667386}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.784918794378799))-π/2
    2×atan(2.19222891219423)-π/2
    2×1.14283426182606-π/2
    2.28566852365212-1.57079632675     		φ = 0.71487220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35667386} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.027466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71487220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.959160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114698 KachelY 49162 2.35667386 0.71487220 135.027466 40.959160
    Oben rechts KachelX + 1 114699 KachelY 49162 2.35672180 0.71487220 135.030213 40.959160
    Unten links KachelX 114698 KachelY + 1 49163 2.35667386 0.71483600 135.027466 40.957086
    Unten rechts KachelX + 1 114699 KachelY + 1 49163 2.35672180 0.71483600 135.030213 40.957086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71487220-0.71483600) × R
    3.61999999999307e-05 × 6371000     		dl = 230.630199999559m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71487220-0.71483600) × R
    3.61999999999307e-05 × 6371000     		dr = 230.630199999559m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35667386-2.35672180) × cos(0.71487220) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.75517702295077 × 6371000     		do = 230.650501065585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35667386-2.35672180) × cos(0.71483600) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.755200752312915 × 6371000     		du = 230.657748623578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71487220)-sin(0.71483600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.75517702295077-0.755200752312915)×R²
    abs(2.35672180-2.35667386)×2.37293621451196e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37293621451196e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37293621451196e-05×40589641000000     		ar = 53195.8069494866m²