Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114700 / 49164
↖ ↑ ↗
← N 40.955011°
E135.032959°		 ← 230.66 m → N 40.955011°
E135.035706°		 →
↑
230.63 m
↓
↑
230.63 m
↓
N 40.952937°
E135.032959°		 ← 230.67 m →
53 199 m²		 N 40.952937°
E135.035706°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875095367431641 y=0.375095367431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875095367431641 × 217)
    floor (0.875095367431641 × 131072)
    floor (114700.5)     		tx = 114700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375095367431641 × 217)
    floor (0.375095367431641 × 131072)
    floor (49164.5)     		ty = 49164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114700 / 49164 ti = "17/114700/49164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114700/49164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114700 ÷ 217
    114700 ÷ 131072     		x = 0.875091552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49164 ÷ 217
    49164 ÷ 131072     		y = 0.375091552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875091552734375 × 2 - 1) × π
    0.75018310546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.35676973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.375091552734375 × 2 - 1) × π
    0.24981689453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.784822920579559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35676973} λ = 2.35676973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.784822920579559))-π/2
    2×atan(2.19201874495454)-π/2
    2×1.14279805984326-π/2
    2.28559611968652-1.57079632675     		φ = 0.71479979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35676973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.032959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71479979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.955011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114700 KachelY 49164 2.35676973 0.71479979 135.032959 40.955011
    Oben rechts KachelX + 1 114701 KachelY 49164 2.35681767 0.71479979 135.035706 40.955011
    Unten links KachelX 114700 KachelY + 1 49165 2.35676973 0.71476359 135.032959 40.952937
    Unten rechts KachelX + 1 114701 KachelY + 1 49165 2.35681767 0.71476359 135.035706 40.952937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71479979-0.71476359) × R
    3.62000000000418e-05 × 6371000     		dl = 230.630200000266m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71479979-0.71476359) × R
    3.62000000000418e-05 × 6371000     		dr = 230.630200000266m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35676973-2.35681767) × cos(0.71479979) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.755224487240078 × 6371000     		do = 230.66499788127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35676973-2.35681767) × cos(0.71476359) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.755248214622628 × 6371000     		du = 230.672244834644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71479979)-sin(0.71476359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755224487240078-0.755248214622628)×R²
    abs(2.35681767-2.35676973)×2.37273825501871e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37273825501871e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37273825501871e-05×40589641000000     		ar = 53199.1502833663m²