Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114704 / 49200
↖ ↑ ↗
← N 40.880295°
E135.043945°		 ← 230.93 m → N 40.880295°
E135.046692°		 →
↑
230.89 m
↓
↑
230.89 m
↓
N 40.878218°
E135.043945°		 ← 230.93 m →
53 318 m²		 N 40.878218°
E135.046692°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875125885009766 y=0.375370025634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875125885009766 × 217)
    floor (0.875125885009766 × 131072)
    floor (114704.5)     		tx = 114704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375370025634766 × 217)
    floor (0.375370025634766 × 131072)
    floor (49200.5)     		ty = 49200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114704 / 49200 ti = "17/114704/49200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114704/49200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114704 ÷ 217
    114704 ÷ 131072     		x = 0.8751220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49200 ÷ 217
    49200 ÷ 131072     		y = 0.3753662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8751220703125 × 2 - 1) × π
    0.750244140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.35696148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3753662109375 × 2 - 1) × π
    0.249267578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.783097192193237
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35696148} λ = 2.35696148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.783097192193237))-π/2
    2×atan(2.18823917817387)-π/2
    2×1.14214603516019-π/2
    2.28429207032038-1.57079632675     		φ = 0.71349574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35696148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.043945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71349574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.880295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114704 KachelY 49200 2.35696148 0.71349574 135.043945 40.880295
    Oben rechts KachelX + 1 114705 KachelY 49200 2.35700942 0.71349574 135.046692 40.880295
    Unten links KachelX 114704 KachelY + 1 49201 2.35696148 0.71345950 135.043945 40.878218
    Unten rechts KachelX + 1 114705 KachelY + 1 49201 2.35700942 0.71345950 135.046692 40.878218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71349574-0.71345950) × R
    3.62400000000207e-05 × 6371000     		dl = 230.885040000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71349574-0.71345950) × R
    3.62400000000207e-05 × 6371000     		dr = 230.885040000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35696148-2.35700942) × cos(0.71349574) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.756078605583225 × 6371000     		do = 230.925867608273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35696148-2.35700942) × cos(0.71345950) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.7561023234716 × 6371000     		du = 230.933111661881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71349574)-sin(0.71345950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756078605583225-0.7561023234716)×R²
    abs(2.35700942-2.35696148)×2.37178883749634e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37178883749634e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37178883749634e-05×40589641000000     		ar = 53318.1644575463m²