Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114708 / 49172
↖ ↑ ↗
← N 40.938415°
E135.054932°		 ← 230.72 m → N 40.938415°
E135.057679°		 →
↑
230.69 m
↓
↑
230.69 m
↓
N 40.936340°
E135.054932°		 ← 230.73 m →
53 227 m²		 N 40.936340°
E135.057679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875156402587891 y=0.375156402587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875156402587891 × 217)
    floor (0.875156402587891 × 131072)
    floor (114708.5)     		tx = 114708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375156402587891 × 217)
    floor (0.375156402587891 × 131072)
    floor (49172.5)     		ty = 49172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114708 / 49172 ti = "17/114708/49172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114708/49172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114708 ÷ 217
    114708 ÷ 131072     		x = 0.875152587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49172 ÷ 217
    49172 ÷ 131072     		y = 0.375152587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875152587890625 × 2 - 1) × π
    0.75030517578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.35715323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.375152587890625 × 2 - 1) × π
    0.24969482421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.784439425382599
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35715323} λ = 2.35715323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.784439425382599))-π/2
    2×atan(2.19117827746212)-π/2
    2×1.14265322916176-π/2
    2.28530645832352-1.57079632675     		φ = 0.71451013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35715323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.054932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71451013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.938415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114708 KachelY 49172 2.35715323 0.71451013 135.054932 40.938415
    Oben rechts KachelX + 1 114709 KachelY 49172 2.35720117 0.71451013 135.057679 40.938415
    Unten links KachelX 114708 KachelY + 1 49173 2.35715323 0.71447392 135.054932 40.936340
    Unten rechts KachelX + 1 114709 KachelY + 1 49173 2.35720117 0.71447392 135.057679 40.936340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71451013-0.71447392) × R
    3.6209999999981e-05 × 6371000     		dl = 230.693909999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71451013-0.71447392) × R
    3.6209999999981e-05 × 6371000     		dr = 230.693909999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35715323-2.35720117) × cos(0.71451013) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.755414317901776 × 6371000     		do = 230.722977051594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35715323-2.35720117) × cos(0.71447392) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.755438043916356 × 6371000     		du = 230.730223587154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71451013)-sin(0.71447392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755414317901776-0.755438043916356)×R²
    abs(2.35720117-2.35715323)×2.37260145798945e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37260145798945e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37260145798945e-05×40589641000000     		ar = 53227.2215744882m²