Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114720 / 49248
↖ ↑ ↗
← N 40.780542°
E135.087891°		 ← 231.27 m → N 40.780542°
E135.090637°		 →
↑
231.27 m
↓
↑
231.27 m
↓
N 40.778462°
E135.087891°		 ← 231.28 m →
53 487 m²		 N 40.778462°
E135.090637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875247955322266 y=0.375736236572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875247955322266 × 217)
    floor (0.875247955322266 × 131072)
    floor (114720.5)     		tx = 114720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375736236572266 × 217)
    floor (0.375736236572266 × 131072)
    floor (49248.5)     		ty = 49248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114720 / 49248 ti = "17/114720/49248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114720/49248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114720 ÷ 217
    114720 ÷ 131072     		x = 0.875244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49248 ÷ 217
    49248 ÷ 131072     		y = 0.375732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875244140625 × 2 - 1) × π
    0.75048828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.35772847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.375732421875 × 2 - 1) × π
    0.24853515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.780796221011475
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35772847} λ = 2.35772847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.780796221011475))-π/2
    2×atan(2.1832098912272)-π/2
    2×1.14127552275496-π/2
    2.28255104550992-1.57079632675     		φ = 0.71175472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35772847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.087891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71175472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.780542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114720 KachelY 49248 2.35772847 0.71175472 135.087891 40.780542
    Oben rechts KachelX + 1 114721 KachelY 49248 2.35777641 0.71175472 135.090637 40.780542
    Unten links KachelX 114720 KachelY + 1 49249 2.35772847 0.71171842 135.087891 40.778462
    Unten rechts KachelX + 1 114721 KachelY + 1 49249 2.35777641 0.71171842 135.090637 40.778462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71175472-0.71171842) × R
    3.62999999999891e-05 × 6371000     		dl = 231.267299999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71175472-0.71171842) × R
    3.62999999999891e-05 × 6371000     		dr = 231.267299999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35772847-2.35777641) × cos(0.71175472) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.757216923308942 × 6371000     		do = 231.273539142005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35772847-2.35777641) × cos(0.71171842) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.757240632644357 × 6371000     		du = 231.280780583319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71175472)-sin(0.71171842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757216923308942-0.757240632644357)×R²
    abs(2.35777641-2.35772847)×2.37093354148454e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37093354148454e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37093354148454e-05×40589641000000     		ar = 53486.8443189073m²