Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114736 / 49136
↖ ↑ ↗
← N 41.013066°
E135.131836°		 ← 230.46 m → N 41.013066°
E135.134583°		 →
↑
230.44 m
↓
↑
230.44 m
↓
N 41.010993°
E135.131836°		 ← 230.47 m →
53 108 m²		 N 41.010993°
E135.134583°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875370025634766 y=0.374881744384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875370025634766 × 217)
    floor (0.875370025634766 × 131072)
    floor (114736.5)     		tx = 114736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.374881744384766 × 217)
    floor (0.374881744384766 × 131072)
    floor (49136.5)     		ty = 49136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114736 / 49136 ti = "17/114736/49136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114736/49136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114736 ÷ 217
    114736 ÷ 131072     		x = 0.8753662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49136 ÷ 217
    49136 ÷ 131072     		y = 0.3748779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8753662109375 × 2 - 1) × π
    0.750732421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.35849546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3748779296875 × 2 - 1) × π
    0.250244140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.786165153768921
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35849546} λ = 2.35849546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.786165153768921))-π/2
    2×atan(2.19496292070891)-π/2
    2×1.14330468054912-π/2
    2.28660936109824-1.57079632675     		φ = 0.71581303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35849546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.131836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71581303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.013066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114736 KachelY 49136 2.35849546 0.71581303 135.131836 41.013066
    Oben rechts KachelX + 1 114737 KachelY 49136 2.35854340 0.71581303 135.134583 41.013066
    Unten links KachelX 114736 KachelY + 1 49137 2.35849546 0.71577686 135.131836 41.010993
    Unten rechts KachelX + 1 114737 KachelY + 1 49137 2.35854340 0.71577686 135.134583 41.010993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71581303-0.71577686) × R
    3.6170000000002e-05 × 6371000     		dl = 230.439070000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71581303-0.71577686) × R
    3.6170000000002e-05 × 6371000     		dr = 230.439070000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35849546-2.35854340) × cos(0.71581303) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.754559955076964 × 6371000     		do = 230.462032653598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35849546-2.35854340) × cos(0.71577686) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.754583690462747 × 6371000     		du = 230.469282051364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71581303)-sin(0.71577686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754559955076964-0.754583690462747)×R²
    abs(2.35854340-2.35849546)×2.37353857828193e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37353857828193e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37353857828193e-05×40589641000000     		ar = 53108.2917529926m²