Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114768 / 49232
↖ ↑ ↗
← N 40.813809°
E135.219726°		 ← 231.16 m → N 40.813809°
E135.222473°		 →
↑
231.14 m
↓
↑
231.14 m
↓
N 40.811730°
E135.219726°		 ← 231.16 m →
53 431 m²		 N 40.811730°
E135.222473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875614166259766 y=0.375614166259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875614166259766 × 217)
    floor (0.875614166259766 × 131072)
    floor (114768.5)     		tx = 114768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375614166259766 × 217)
    floor (0.375614166259766 × 131072)
    floor (49232.5)     		ty = 49232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114768 / 49232 ti = "17/114768/49232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114768/49232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114768 ÷ 217
    114768 ÷ 131072     		x = 0.8756103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49232 ÷ 217
    49232 ÷ 131072     		y = 0.3756103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8756103515625 × 2 - 1) × π
    0.751220703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.36002944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3756103515625 × 2 - 1) × π
    0.248779296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.781563211405396
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36002944} λ = 2.36002944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.781563211405396))-π/2
    2×atan(2.18488503456899)-π/2
    2×1.14156583906614-π/2
    2.28313167813228-1.57079632675     		φ = 0.71233535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36002944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.219726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71233535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.813809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114768 KachelY 49232 2.36002944 0.71233535 135.219726 40.813809
    Oben rechts KachelX + 1 114769 KachelY 49232 2.36007738 0.71233535 135.222473 40.813809
    Unten links KachelX 114768 KachelY + 1 49233 2.36002944 0.71229907 135.219726 40.811730
    Unten rechts KachelX + 1 114769 KachelY + 1 49233 2.36007738 0.71229907 135.222473 40.811730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71233535-0.71229907) × R
    3.62799999999996e-05 × 6371000     		dl = 231.139879999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71233535-0.71229907) × R
    3.62799999999996e-05 × 6371000     		dr = 231.139879999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36002944-2.36007738) × cos(0.71233535) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.756837549378384 × 6371000     		do = 231.157668578528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36002944-2.36007738) × cos(0.71229907) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.756861261598302 × 6371000     		du = 231.164910900843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71233535)-sin(0.71229907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756837549378384-0.756861261598302)×R²
    abs(2.36007738-2.36002944)×2.37122199178152e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37122199178152e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37122199178152e-05×40589641000000     		ar = 53430.5927769813m²