Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114815 / 49279
↖ ↑ ↗
← N 40.716038°
E135.348816°		 ← 231.45 m → N 40.716038°
E135.351562°		 →
↑
231.52 m
↓
↑
231.52 m
↓
N 40.713956°
E135.348816°		 ← 231.46 m →
53 587 m²		 N 40.713956°
E135.351562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875972747802734 y=0.375972747802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875972747802734 × 217)
    floor (0.875972747802734 × 131072)
    floor (114815.5)     		tx = 114815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375972747802734 × 217)
    floor (0.375972747802734 × 131072)
    floor (49279.5)     		ty = 49279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114815 / 49279 ti = "17/114815/49279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114815/49279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114815 ÷ 217
    114815 ÷ 131072     		x = 0.875968933105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49279 ÷ 217
    49279 ÷ 131072     		y = 0.375968933105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875968933105469 × 2 - 1) × π
    0.751937866210938 × 3.1415926535     		Λ = 2.36228248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.375968933105469 × 2 - 1) × π
    0.248062133789062 × 3.1415926535     		Φ = 0.779310177123253
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36228248} λ = 2.36228248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.779310177123253))-π/2
    2×atan(2.17996795493804)-π/2
    2×1.1407126209423-π/2
    2.2814252418846-1.57079632675     		φ = 0.71062892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36228248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.348816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71062892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.716038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114815 KachelY 49279 2.36228248 0.71062892 135.348816 40.716038
    Oben rechts KachelX + 1 114816 KachelY 49279 2.36233041 0.71062892 135.351562 40.716038
    Unten links KachelX 114815 KachelY + 1 49280 2.36228248 0.71059258 135.348816 40.713956
    Unten rechts KachelX + 1 114816 KachelY + 1 49280 2.36233041 0.71059258 135.351562 40.713956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71062892-0.71059258) × R
    3.63399999999681e-05 × 6371000     		dl = 231.522139999797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71062892-0.71059258) × R
    3.63399999999681e-05 × 6371000     		dr = 231.522139999797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36228248-2.36233041) × cos(0.71062892) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.7579517747409 × 6371000     		do = 231.449692577126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36228248-2.36233041) × cos(0.71059258) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.757975479207299 × 6371000     		du = 231.456931021105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71062892)-sin(0.71059258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7579517747409-0.757975479207299)×R²
    abs(2.36233041-2.36228248)×2.37044663988772e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37044663988772e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37044663988772e-05×40589641000000     		ar = 53586.5660637563m²