Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114880 / 16576
↖ ↑ ↗
← N 79.071812°
E135.527343°		 ← 57.90 m → N 79.071812°
E135.530090°		 →
↑
57.91 m
↓
↑
57.91 m
↓
N 79.071291°
E135.527343°		 ← 57.90 m →
3 353 m²		 N 79.071291°
E135.530090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.876468658447266 y=0.126468658447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.876468658447266 × 217)
    floor (0.876468658447266 × 131072)
    floor (114880.5)     		tx = 114880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126468658447266 × 217)
    floor (0.126468658447266 × 131072)
    floor (16576.5)     		ty = 16576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114880 / 16576 ti = "17/114880/16576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114880/16576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114880 ÷ 217
    114880 ÷ 131072     		x = 0.87646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16576 ÷ 217
    16576 ÷ 131072     		y = 0.12646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87646484375 × 2 - 1) × π
    0.7529296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.36539837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12646484375 × 2 - 1) × π
    0.7470703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.34699060539795
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36539837} λ = 2.36539837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34699060539795))-π/2
    2×atan(10.4540619412544)-π/2
    2×1.47542989597299-π/2
    2.95085979194598-1.57079632675     		φ = 1.38006347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36539837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.527343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38006347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.071812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114880 KachelY 16576 2.36539837 1.38006347 135.527343 79.071812
    Oben rechts KachelX + 1 114881 KachelY 16576 2.36544631 1.38006347 135.530090 79.071812
    Unten links KachelX 114880 KachelY + 1 16577 2.36539837 1.38005438 135.527343 79.071291
    Unten rechts KachelX + 1 114881 KachelY + 1 16577 2.36544631 1.38005438 135.530090 79.071291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38006347-1.38005438) × R
    9.0900000000449e-06 × 6371000     		dl = 57.912390000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38006347-1.38005438) × R
    9.0900000000449e-06 × 6371000     		dr = 57.912390000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36539837-2.36544631) × cos(1.38006347) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189578512672325 × 6371000     		do = 57.9021575210063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36539837-2.36544631) × cos(1.38005438) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189587437822478 × 6371000     		du = 57.9048834915962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38006347)-sin(1.38005438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189578512672325-0.189587437822478)×R²
    abs(2.36544631-2.36539837)×8.92515015260553e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.92515015260553e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.92515015260553e-06×40589641000000     		ar = 3353.33126209764m²