Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114943 / 49409
↖ ↑ ↗
← N 40.444857°
E135.700378°		 ← 232.44 m → N 40.444857°
E135.703125°		 →
↑
232.41 m
↓
↑
232.41 m
↓
N 40.442767°
E135.700378°		 ← 232.45 m →
54 023 m²		 N 40.442767°
E135.703125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.876949310302734 y=0.376964569091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.876949310302734 × 217)
    floor (0.876949310302734 × 131072)
    floor (114943.5)     		tx = 114943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.376964569091797 × 217)
    floor (0.376964569091797 × 131072)
    floor (49409.5)     		ty = 49409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114943 / 49409 ti = "17/114943/49409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114943/49409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114943 ÷ 217
    114943 ÷ 131072     		x = 0.876945495605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49409 ÷ 217
    49409 ÷ 131072     		y = 0.376960754394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.876945495605469 × 2 - 1) × π
    0.753890991210938 × 3.1415926535     		Λ = 2.36841840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.376960754394531 × 2 - 1) × π
    0.246078491210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.773078380172646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36841840} λ = 2.36841840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.773078380172646))-π/2
    2×atan(2.16642507933791)-π/2
    2×1.13834612223239-π/2
    2.27669224446478-1.57079632675     		φ = 0.70589592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36841840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.700378°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70589592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.444857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114943 KachelY 49409 2.36841840 0.70589592 135.700378 40.444857
    Oben rechts KachelX + 1 114944 KachelY 49409 2.36846634 0.70589592 135.703125 40.444857
    Unten links KachelX 114943 KachelY + 1 49410 2.36841840 0.70585944 135.700378 40.442767
    Unten rechts KachelX + 1 114944 KachelY + 1 49410 2.36846634 0.70585944 135.703125 40.442767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70589592-0.70585944) × R
    3.64800000000054e-05 × 6371000     		dl = 232.414080000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70589592-0.70585944) × R
    3.64800000000054e-05 × 6371000     		dr = 232.414080000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36841840-2.36846634) × cos(0.70589592) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.761030659708815 × 6371000     		do = 232.438352404101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36841840-2.36846634) × cos(0.70585944) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.761054324358907 × 6371000     		du = 232.445580197367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70589592)-sin(0.70585944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761030659708815-0.761054324358907)×R²
    abs(2.36846634-2.36841840)×2.36646500924031e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36646500924031e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36646500924031e-05×40589641000000     		ar = 54022.7857572583m²