Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114944 / 48896
↖ ↑ ↗
← N 41.508577°
E135.703125°		 ← 228.67 m → N 41.508577°
E135.705871°		 →
↑
228.72 m
↓
↑
228.72 m
↓
N 41.506520°
E135.703125°		 ← 228.68 m →
52 303 m²		 N 41.506520°
E135.705871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.876956939697266 y=0.373050689697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.876956939697266 × 217)
    floor (0.876956939697266 × 131072)
    floor (114944.5)     		tx = 114944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373050689697266 × 217)
    floor (0.373050689697266 × 131072)
    floor (48896.5)     		ty = 48896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114944 / 48896 ti = "17/114944/48896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114944/48896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114944 ÷ 217
    114944 ÷ 131072     		x = 0.876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48896 ÷ 217
    48896 ÷ 131072     		y = 0.373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.876953125 × 2 - 1) × π
    0.75390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.36846634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.373046875 × 2 - 1) × π
    0.25390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.797670009677734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36846634} λ = 2.36846634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.797670009677734))-π/2
    2×atan(2.22036147604752)-π/2
    2×1.14762883421835-π/2
    2.29525766843671-1.57079632675     		φ = 0.72446134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36846634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72446134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.508577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114944 KachelY 48896 2.36846634 0.72446134 135.703125 41.508577
    Oben rechts KachelX + 1 114945 KachelY 48896 2.36851427 0.72446134 135.705871 41.508577
    Unten links KachelX 114944 KachelY + 1 48897 2.36846634 0.72442544 135.703125 41.506520
    Unten rechts KachelX + 1 114945 KachelY + 1 48897 2.36851427 0.72442544 135.705871 41.506520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72446134-0.72442544) × R
    3.58999999999776e-05 × 6371000     		dl = 228.718899999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72446134-0.72442544) × R
    3.58999999999776e-05 × 6371000     		dr = 228.718899999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36846634-2.36851427) × cos(0.72446134) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.748856517896165 × 6371000     		do = 228.672346483644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36846634-2.36851427) × cos(0.72442544) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.748880309498129 × 6371000     		du = 228.679611535517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72446134)-sin(0.72442544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748856517896165-0.748880309498129)×R²
    abs(2.36851427-2.36846634)×2.37916019640849e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37916019640849e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37916019640849e-05×40589641000000     		ar = 52302.5183810459m²