Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114960 / 16656
↖ ↑ ↗
← N 79.030078°
E135.747070°		 ← 58.11 m → N 79.030078°
E135.749817°		 →
↑
58.10 m
↓
↑
58.10 m
↓
N 79.029556°
E135.747070°		 ← 58.11 m →
3 376 m²		 N 79.029556°
E135.749817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.877079010009766 y=0.127079010009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.877079010009766 × 217)
    floor (0.877079010009766 × 131072)
    floor (114960.5)     		tx = 114960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127079010009766 × 217)
    floor (0.127079010009766 × 131072)
    floor (16656.5)     		ty = 16656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114960 / 16656 ti = "17/114960/16656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114960/16656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114960 ÷ 217
    114960 ÷ 131072     		x = 0.8770751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16656 ÷ 217
    16656 ÷ 131072     		y = 0.1270751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8770751953125 × 2 - 1) × π
    0.754150390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.36923333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1270751953125 × 2 - 1) × π
    0.745849609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.34315565342834
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36923333} λ = 2.36923333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34315565342834))-π/2
    2×atan(10.4140478908432)-π/2
    2×1.4750656985051-π/2
    2.9501313970102-1.57079632675     		φ = 1.37933507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36923333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.747070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37933507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.030078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114960 KachelY 16656 2.36923333 1.37933507 135.747070 79.030078
    Oben rechts KachelX + 1 114961 KachelY 16656 2.36928126 1.37933507 135.749817 79.030078
    Unten links KachelX 114960 KachelY + 1 16657 2.36923333 1.37932595 135.747070 79.029556
    Unten rechts KachelX + 1 114961 KachelY + 1 16657 2.36928126 1.37932595 135.749817 79.029556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37933507-1.37932595) × R
    9.12000000008462e-06 × 6371000     		dl = 58.1035200005391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37933507-1.37932595) × R
    9.12000000008462e-06 × 6371000     		dr = 58.1035200005391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36923333-2.36928126) × cos(1.37933507) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.190293653194547 × 6371000     		do = 58.1084562356383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36923333-2.36928126) × cos(1.37932595) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.190302606538838 × 6371000     		du = 58.1111902470264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37933507)-sin(1.37932595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190293653194547-0.190302606538838)×R²
    abs(2.36928126-2.36923333)×8.95334429107386e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.95334429107386e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.95334429107386e-06×40589641000000     		ar = 3376.38527701876m²