Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1152 / 1152
↖ ↑ ↗
← S 21.943045°
E 22.500000°		 ← 18.130 km → S 21.943045°
E 22.675781°		 →
↑
18.120 km
↓
↑
18.120 km
↓
S 22.105999°
E 22.500000°		 ← 18.109 km →
328.319 km²		 S 22.105999°
E 22.675781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562744140625 y=0.562744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562744140625 × 211)
    floor (0.562744140625 × 2048)
    floor (1152.5)     		tx = 1152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562744140625 × 211)
    floor (0.562744140625 × 2048)
    floor (1152.5)     		ty = 1152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1152 / 1152 ti = "11/1152/1152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1152/1152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1152 ÷ 211
    1152 ÷ 2048     		x = 0.5625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1152 ÷ 211
    1152 ÷ 2048     		y = 0.5625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5625 × 2 - 1) × π
    0.125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39269908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5625 × 2 - 1) × π
    -0.125 × 3.1415926535     		Φ = -0.3926990816875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39269908} λ = 0.39269908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.3926990816875))-π/2
    2×atan(0.675231906663356)-π/2
    2×0.593908967165888-π/2
    1.18781793433178-1.57079632675     		φ = -0.38297839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39269908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38297839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.943045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1152 KachelY 1152 0.39269908 -0.38297839 22.500000 -21.943045
    Oben rechts KachelX + 1 1153 KachelY 1152 0.39576704 -0.38297839 22.675781 -21.943045
    Unten links KachelX 1152 KachelY + 1 1153 0.39269908 -0.38582246 22.500000 -22.105999
    Unten rechts KachelX + 1 1153 KachelY + 1 1153 0.39576704 -0.38582246 22.675781 -22.105999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38297839--0.38582246) × R
    0.00284406999999998 × 6371000     		dl = 18119.5699699998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38297839--0.38582246) × R
    0.00284406999999998 × 6371000     		dr = 18119.5699699998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39269908-0.39576704) × cos(-0.38297839) × R
    0.00306796000000004 × 0.927555772393619 × 6371000     		do = 18129.980231609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39269908-0.39576704) × cos(-0.38582246) × R
    0.00306796000000004 × 0.926489236878441 × 6371000     		du = 18109.1337570551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38297839)-sin(-0.38582246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927555772393619-0.926489236878441)×R²
    abs(0.39576704-0.39269908)×0.00106653551517799×R²
    0.00306796000000004×0.00106653551517799×6371000²
    0.00306796000000004×0.00106653551517799×40589641000000     		ar = 328318802.091191m²