Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1152 / 128
↖ ↑ ↗
← N 82.676285°
E 22.500000°		 ← 2 491.63 m → N 82.676285°
E 22.675781°		 →
↑
2 495.46 m
↓
↑
2 495.46 m
↓
N 82.653843°
E 22.500000°		 ← 2 499.22 m →
6 227 219 m²		 N 82.653843°
E 22.675781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562744140625 y=0.062744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562744140625 × 211)
    floor (0.562744140625 × 2048)
    floor (1152.5)     		tx = 1152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.062744140625 × 211)
    floor (0.062744140625 × 2048)
    floor (128.5)     		ty = 128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1152 / 128 ti = "11/1152/128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1152/128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1152 ÷ 211
    1152 ÷ 2048     		x = 0.5625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 128 ÷ 211
    128 ÷ 2048     		y = 0.0625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5625 × 2 - 1) × π
    0.125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39269908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0625 × 2 - 1) × π
    0.875 × 3.1415926535     		Φ = 2.7488935718125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39269908} λ = 0.39269908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.7488935718125))-π/2
    2×atan(15.6253340065392)-π/2
    2×1.5068848564871-π/2
    3.0137697129742-1.57079632675     		φ = 1.44297339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39269908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44297339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.676285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1152 KachelY 128 0.39269908 1.44297339 22.500000 82.676285
    Oben rechts KachelX + 1 1153 KachelY 128 0.39576704 1.44297339 22.675781 82.676285
    Unten links KachelX 1152 KachelY + 1 129 0.39269908 1.44258170 22.500000 82.653843
    Unten rechts KachelX + 1 1153 KachelY + 1 129 0.39576704 1.44258170 22.675781 82.653843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44297339-1.44258170) × R
    0.000391689999999834 × 6371000     		dl = 2495.45698999894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44297339-1.44258170) × R
    0.000391689999999834 × 6371000     		dr = 2495.45698999894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39269908-0.39576704) × cos(1.44297339) × R
    0.00306796000000004 × 0.127475144203388 × 6371000     		do = 2491.62574716659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39269908-0.39576704) × cos(1.44258170) × R
    0.00306796000000004 × 0.127863628915862 × 6371000     		du = 2499.21905892967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44297339)-sin(1.44258170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127475144203388-0.127863628915862)×R²
    abs(0.39576704-0.39269908)×0.000388484712473658×R²
    0.00306796000000004×0.000388484712473658×6371000²
    0.00306796000000004×0.000388484712473658×40589641000000     		ar = 6227219.35830385m²