Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 115232 / 49696
↖ ↑ ↗
← N 39.842286°
E136.494140°		 ← 234.51 m → N 39.842286°
E136.496887°		 →
↑
234.45 m
↓
↑
234.45 m
↓
N 39.840177°
E136.494140°		 ← 234.52 m →
54 982 m²		 N 39.840177°
E136.496887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 115232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.879154205322266 y=0.379154205322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.879154205322266 × 217)
    floor (0.879154205322266 × 131072)
    floor (115232.5)     		tx = 115232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379154205322266 × 217)
    floor (0.379154205322266 × 131072)
    floor (49696.5)     		ty = 49696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 115232 / 49696 ti = "17/115232/49696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/115232/49696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 115232 ÷ 217
    115232 ÷ 131072     		x = 0.879150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49696 ÷ 217
    49696 ÷ 131072     		y = 0.379150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.879150390625 × 2 - 1) × π
    0.75830078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.38227216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379150390625 × 2 - 1) × π
    0.24169921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.759320489981689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.38227216} λ = 2.38227216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.759320489981689))-π/2
    2×atan(2.13682373392855)-π/2
    2×1.13308769968076-π/2
    2.26617539936151-1.57079632675     		φ = 0.69537907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.38227216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 136.494140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69537907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.842286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 115232 KachelY 49696 2.38227216 0.69537907 136.494140 39.842286
    Oben rechts KachelX + 1 115233 KachelY 49696 2.38232010 0.69537907 136.496887 39.842286
    Unten links KachelX 115232 KachelY + 1 49697 2.38227216 0.69534227 136.494140 39.840177
    Unten rechts KachelX + 1 115233 KachelY + 1 49697 2.38232010 0.69534227 136.496887 39.840177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69537907-0.69534227) × R
    3.6799999999948e-05 × 6371000     		dl = 234.452799999669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69537907-0.69534227) × R
    3.6799999999948e-05 × 6371000     		dr = 234.452799999669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.38227216-2.38232010) × cos(0.69537907) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.76781089570694 × 6371000     		do = 234.509211001201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.38227216-2.38232010) × cos(0.69534227) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.767834472083693 × 6371000     		du = 234.516411833518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69537907)-sin(0.69534227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.76781089570694-0.767834472083693)×R²
    abs(2.38232010-2.38227216)×2.35763767529873e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35763767529873e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35763767529873e-05×40589641000000     		ar = 54982.185278827m²