Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1153 / 1151
↖ ↑ ↗
← S 21.779905°
E 22.675781°		 ← 18.151 km → S 21.779905°
E 22.851562°		 →
↑
18.140 km
↓
↑
18.140 km
↓
S 21.943045°
E 22.675781°		 ← 18.130 km →
329.072 km²		 S 21.943045°
E 22.851562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563232421875 y=0.562255859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563232421875 × 211)
    floor (0.563232421875 × 2048)
    floor (1153.5)     		tx = 1153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562255859375 × 211)
    floor (0.562255859375 × 2048)
    floor (1151.5)     		ty = 1151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1153 / 1151 ti = "11/1153/1151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1153/1151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1153 ÷ 211
    1153 ÷ 2048     		x = 0.56298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1151 ÷ 211
    1151 ÷ 2048     		y = 0.56201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56298828125 × 2 - 1) × π
    0.1259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39576704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56201171875 × 2 - 1) × π
    -0.1240234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.389631120111816
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39576704} λ = 0.39576704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.389631120111816))-π/2
    2×atan(0.677306673232355)-π/2
    2×0.595332633902696-π/2
    1.19066526780539-1.57079632675     		φ = -0.38013106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39576704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.675781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38013106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.779905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1153 KachelY 1151 0.39576704 -0.38013106 22.675781 -21.779905
    Oben rechts KachelX + 1 1154 KachelY 1151 0.39883500 -0.38013106 22.851562 -21.779905
    Unten links KachelX 1153 KachelY + 1 1152 0.39576704 -0.38297839 22.675781 -21.943045
    Unten rechts KachelX + 1 1154 KachelY + 1 1152 0.39883500 -0.38297839 22.851562 -21.943045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38013106--0.38297839) × R
    0.00284732999999998 × 6371000     		dl = 18140.3394299999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38013106--0.38297839) × R
    0.00284732999999998 × 6371000     		dr = 18140.3394299999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39576704-0.39883500) × cos(-0.38013106) × R
    0.00306795999999998 × 0.92861601476422 × 6371000     		do = 18150.7037005275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39576704-0.39883500) × cos(-0.38297839) × R
    0.00306795999999998 × 0.927555772393619 × 6371000     		du = 18129.9802316086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38013106)-sin(-0.38297839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92861601476422-0.927555772393619)×R²
    abs(0.39883500-0.39576704)×0.00106024237060098×R²
    0.00306795999999998×0.00106024237060098×6371000²
    0.00306795999999998×0.00106024237060098×40589641000000     		ar = 329072182.964356m²