Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1153 / 639
↖ ↑ ↗
← N 55.875311°
E 22.675781°		 ← 10.965 km → N 55.875311°
E 22.851562°		 →
↑
10.979 km
↓
↑
10.979 km
↓
N 55.776573°
E 22.675781°		 ← 10.993 km →
120.542 km²		 N 55.776573°
E 22.851562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563232421875 y=0.312255859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563232421875 × 211)
    floor (0.563232421875 × 2048)
    floor (1153.5)     		tx = 1153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312255859375 × 211)
    floor (0.312255859375 × 2048)
    floor (639.5)     		ty = 639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1153 / 639 ti = "11/1153/639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1153/639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1153 ÷ 211
    1153 ÷ 2048     		x = 0.56298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 639 ÷ 211
    639 ÷ 2048     		y = 0.31201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56298828125 × 2 - 1) × π
    0.1259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39576704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31201171875 × 2 - 1) × π
    0.3759765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.18116520663818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39576704} λ = 0.39576704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18116520663818))-π/2
    2×atan(3.25816843141486)-π/2
    2×1.27300223571707-π/2
    2.54600447143413-1.57079632675     		φ = 0.97520814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39576704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.675781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97520814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.875311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1153 KachelY 639 0.39576704 0.97520814 22.675781 55.875311
    Oben rechts KachelX + 1 1154 KachelY 639 0.39883500 0.97520814 22.851562 55.875311
    Unten links KachelX 1153 KachelY + 1 640 0.39576704 0.97348484 22.675781 55.776573
    Unten rechts KachelX + 1 1154 KachelY + 1 640 0.39883500 0.97348484 22.851562 55.776573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97520814-0.97348484) × R
    0.00172329999999998 × 6371000     		dl = 10979.1442999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97520814-0.97348484) × R
    0.00172329999999998 × 6371000     		dr = 10979.1442999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39576704-0.39883500) × cos(0.97520814) × R
    0.00306795999999998 × 0.560995763524048 × 6371000     		do = 10965.2081367147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39576704-0.39883500) × cos(0.97348484) × R
    0.00306795999999998 × 0.562421509722991 × 6371000     		du = 10993.0757336522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97520814)-sin(0.97348484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.560995763524048-0.562421509722991)×R²
    abs(0.39883500-0.39576704)×0.00142574619894287×R²
    0.00306795999999998×0.00142574619894287×6371000²
    0.00306795999999998×0.00142574619894287×40589641000000     		ar = 120541613.42824m²