Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 1154 / 3202
↖ ↑ ↗
← N 36.527295°
W129.287109°		 ← 3 926.66 m → N 36.527295°
W129.243164°		 →
↑
3 927.53 m
↓
↑
3 927.53 m
↓
N 36.491974°
W129.287109°		 ← 3 928.45 m →
15 425 581 m²		 N 36.491974°
W129.243164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.14093017578125 y=0.39093017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.14093017578125 × 213)
    floor (0.14093017578125 × 8192)
    floor (1154.5)     		tx = 1154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.39093017578125 × 213)
    floor (0.39093017578125 × 8192)
    floor (3202.5)     		ty = 3202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1154 / 3202 ti = "13/1154/3202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1154/3202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1154 ÷ 213
    1154 ÷ 8192     		x = 0.140869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3202 ÷ 213
    3202 ÷ 8192     		y = 0.390869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140869140625 × 2 - 1) × π
    -0.71826171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.25648574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.390869140625 × 2 - 1) × π
    0.21826171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.685689412165283
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25648574} λ = -2.25648574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.685689412165283))-π/2
    2×atan(1.98513994351468)-π/2
    2×1.10415894406982-π/2
    2.20831788813963-1.57079632675     		φ = 0.63752156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25648574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.287109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.63752156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 36.527295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1154 KachelY 3202 -2.25648574 0.63752156 -129.287109 36.527295
    Oben rechts KachelX + 1 1155 KachelY 3202 -2.25571875 0.63752156 -129.243164 36.527295
    Unten links KachelX 1154 KachelY + 1 3203 -2.25648574 0.63690509 -129.287109 36.491974
    Unten rechts KachelX + 1 1155 KachelY + 1 3203 -2.25571875 0.63690509 -129.243164 36.491974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.63752156-0.63690509) × R
    0.000616470000000091 × 6371000     		dl = 3927.53037000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.63752156-0.63690509) × R
    0.000616470000000091 × 6371000     		dr = 3927.53037000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25648574--2.25571875) × cos(0.63752156) × R
    0.000766989999999801 × 0.803573405937235 × 6371000     		do = 3926.65605613373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25648574--2.25571875) × cos(0.63690509) × R
    0.000766989999999801 × 0.803940179655956 × 6371000     		du = 3928.4482934492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.63752156)-sin(0.63690509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.803573405937235-0.803940179655956)×R²
    abs(-2.25571875--2.25648574)×0.000366773718720736×R²
    0.000766989999999801×0.000366773718720736×6371000²
    0.000766989999999801×0.000366773718720736×40589641000000     		ar = 15425580.9347796m²