Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 115456 / 49920
↖ ↑ ↗
← N 39.368279°
E137.109375°		 ← 236.12 m → N 39.368279°
E137.112122°		 →
↑
236.11 m
↓
↑
236.11 m
↓
N 39.366156°
E137.109375°		 ← 236.13 m →
55 751 m²		 N 39.366156°
E137.112122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 115456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.880863189697266 y=0.380863189697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.880863189697266 × 217)
    floor (0.880863189697266 × 131072)
    floor (115456.5)     		tx = 115456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380863189697266 × 217)
    floor (0.380863189697266 × 131072)
    floor (49920.5)     		ty = 49920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 115456 / 49920 ti = "17/115456/49920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/115456/49920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 115456 ÷ 217
    115456 ÷ 131072     		x = 0.880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49920 ÷ 217
    49920 ÷ 131072     		y = 0.380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.880859375 × 2 - 1) × π
    0.76171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.39301003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380859375 × 2 - 1) × π
    0.23828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.748582624466797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.39301003} λ = 2.39301003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.748582624466797))-π/2
    2×atan(2.11400155805821)-π/2
    2×1.12895120938772-π/2
    2.25790241877543-1.57079632675     		φ = 0.68710609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.39301003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 137.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68710609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.368279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 115456 KachelY 49920 2.39301003 0.68710609 137.109375 39.368279
    Oben rechts KachelX + 1 115457 KachelY 49920 2.39305797 0.68710609 137.112122 39.368279
    Unten links KachelX 115456 KachelY + 1 49921 2.39301003 0.68706903 137.109375 39.366156
    Unten rechts KachelX + 1 115457 KachelY + 1 49921 2.39305797 0.68706903 137.112122 39.366156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68710609-0.68706903) × R
    3.70600000000332e-05 × 6371000     		dl = 236.109260000211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68710609-0.68706903) × R
    3.70600000000332e-05 × 6371000     		dr = 236.109260000211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.39301003-2.39305797) × cos(0.68710609) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.773084864262395 × 6371000     		do = 236.120016749987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.39301003-2.39305797) × cos(0.68706903) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.773108370985977 × 6371000     		du = 236.127196308432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68710609)-sin(0.68706903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773084864262395-0.773108370985977)×R²
    abs(2.39305797-2.39301003)×2.35067235815345e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35067235815345e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35067235815345e-05×40589641000000     		ar = 55750.9700126976m²