Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1155 / 1155
↖ ↑ ↗
← S 22.431340°
E 23.027344°		 ← 18.067 km → S 22.431340°
E 23.203125°		 →
↑
18.056 km
↓
↑
18.056 km
↓
S 22.593726°
E 23.027344°		 ← 18.046 km →
326.037 km²		 S 22.593726°
E 23.203125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564208984375 y=0.564208984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564208984375 × 211)
    floor (0.564208984375 × 2048)
    floor (1155.5)     		tx = 1155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.564208984375 × 211)
    floor (0.564208984375 × 2048)
    floor (1155.5)     		ty = 1155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1155 / 1155 ti = "11/1155/1155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1155/1155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1155 ÷ 211
    1155 ÷ 2048     		x = 0.56396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1155 ÷ 211
    1155 ÷ 2048     		y = 0.56396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56396484375 × 2 - 1) × π
    0.1279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40190297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56396484375 × 2 - 1) × π
    -0.1279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.401902966414551
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40190297} λ = 0.40190297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.401902966414551))-π/2
    2×atan(0.669045662440199)-π/2
    2×0.589647792721101-π/2
    1.1792955854422-1.57079632675     		φ = -0.39150074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40190297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.027344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.39150074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.431340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1155 KachelY 1155 0.40190297 -0.39150074 23.027344 -22.431340
    Oben rechts KachelX + 1 1156 KachelY 1155 0.40497093 -0.39150074 23.203125 -22.431340
    Unten links KachelX 1155 KachelY + 1 1156 0.40190297 -0.39433491 23.027344 -22.593726
    Unten rechts KachelX + 1 1156 KachelY + 1 1156 0.40497093 -0.39433491 23.203125 -22.593726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.39150074--0.39433491) × R
    0.00283416999999997 × 6371000     		dl = 18056.4970699998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.39150074--0.39433491) × R
    0.00283416999999997 × 6371000     		dr = 18056.4970699998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40190297-0.40497093) × cos(-0.39150074) × R
    0.00306795999999998 × 0.924337454559975 × 6371000     		do = 18067.0750776119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40190297-0.40497093) × cos(-0.39433491) × R
    0.00306795999999998 × 0.923252292281228 × 6371000     		du = 18045.8645248372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.39150074)-sin(-0.39433491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924337454559975-0.923252292281228)×R²
    abs(0.40497093-0.40190297)×0.00108516227874667×R²
    0.00306795999999998×0.00108516227874667×6371000²
    0.00306795999999998×0.00108516227874667×40589641000000     		ar = 326036812.301803m²