Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1156 / 132
↖ ↑ ↗
← N 82.586106°
E 23.203125°		 ← 2 522.14 m → N 82.586106°
E 23.378906°		 →
↑
2 525.97 m
↓
↑
2 525.97 m
↓
N 82.563390°
E 23.203125°		 ← 2 529.82 m →
6 380 554 m²		 N 82.563390°
E 23.378906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564697265625 y=0.064697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564697265625 × 211)
    floor (0.564697265625 × 2048)
    floor (1156.5)     		tx = 1156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.064697265625 × 211)
    floor (0.064697265625 × 2048)
    floor (132.5)     		ty = 132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1156 / 132 ti = "11/1156/132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1156/132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1156 ÷ 211
    1156 ÷ 2048     		x = 0.564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 132 ÷ 211
    132 ÷ 2048     		y = 0.064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564453125 × 2 - 1) × π
    0.12890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40497093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.064453125 × 2 - 1) × π
    0.87109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.73662172550977
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40497093} λ = 0.40497093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.73662172550977))-π/2
    2×atan(15.4347540846804)-π/2
    2×1.50609789949907-π/2
    3.01219579899814-1.57079632675     		φ = 1.44139947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40497093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.203125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44139947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.586106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1156 KachelY 132 0.40497093 1.44139947 23.203125 82.586106
    Oben rechts KachelX + 1 1157 KachelY 132 0.40803889 1.44139947 23.378906 82.586106
    Unten links KachelX 1156 KachelY + 1 133 0.40497093 1.44100299 23.203125 82.563390
    Unten rechts KachelX + 1 1157 KachelY + 1 133 0.40803889 1.44100299 23.378906 82.563390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44139947-1.44100299) × R
    0.00039647999999981 × 6371000     		dl = 2525.97407999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44139947-1.44100299) × R
    0.00039647999999981 × 6371000     		dr = 2525.97407999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40497093-0.40803889) × cos(1.44139947) × R
    0.00306795999999998 × 0.129036065258056 × 6371000     		do = 2522.13546820596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40497093-0.40803889) × cos(1.44100299) × R
    0.00306795999999998 × 0.129429220493824 × 6371000     		du = 2529.82006989198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44139947)-sin(1.44100299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.129036065258056-0.129429220493824)×R²
    abs(0.40803889-0.40497093)×0.000393155235767328×R²
    0.00306795999999998×0.000393155235767328×6371000²
    0.00306795999999998×0.000393155235767328×40589641000000     		ar = 6380554.45485134m²