Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 115711 / 17409
↖ ↑ ↗
← N 78.629464°
E137.809754°		 ← 60.22 m → N 78.629464°
E137.812500°		 →
↑
60.21 m
↓
↑
60.21 m
↓
N 78.628923°
E137.809754°		 ← 60.22 m →
3 625 m²		 N 78.628923°
E137.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 115711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.882808685302734 y=0.132823944091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.882808685302734 × 217)
    floor (0.882808685302734 × 131072)
    floor (115711.5)     		tx = 115711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132823944091797 × 217)
    floor (0.132823944091797 × 131072)
    floor (17409.5)     		ty = 17409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 115711 / 17409 ti = "17/115711/17409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/115711/17409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 115711 ÷ 217
    115711 ÷ 131072     		x = 0.882804870605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17409 ÷ 217
    17409 ÷ 131072     		y = 0.132820129394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.882804870605469 × 2 - 1) × π
    0.765609741210938 × 3.1415926535     		Λ = 2.40523394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132820129394531 × 2 - 1) × π
    0.734359741210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.30705916801444
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.40523394} λ = 2.40523394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30705916801444))-π/2
    2×atan(10.0448409863727)-π/2
    2×1.4715696820544-π/2
    2.9431393641088-1.57079632675     		φ = 1.37234304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.40523394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 137.809754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37234304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.629464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 115711 KachelY 17409 2.40523394 1.37234304 137.809754 78.629464
    Oben rechts KachelX + 1 115712 KachelY 17409 2.40528188 1.37234304 137.812500 78.629464
    Unten links KachelX 115711 KachelY + 1 17410 2.40523394 1.37233359 137.809754 78.628923
    Unten rechts KachelX + 1 115712 KachelY + 1 17410 2.40528188 1.37233359 137.812500 78.628923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37234304-1.37233359) × R
    9.45000000007745e-06 × 6371000     		dl = 60.2059500004934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37234304-1.37233359) × R
    9.45000000007745e-06 × 6371000     		dr = 60.2059500004934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.40523394-2.40528188) × cos(1.37234304) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.197153211841214 × 6371000     		do = 60.2156656199402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.40523394-2.40528188) × cos(1.37233359) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.197162476354331 × 6371000     		du = 60.2184952407144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37234304)-sin(1.37233359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197153211841214-0.197162476354331)×R²
    abs(2.40528188-2.40523394)×9.26451311616949e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.26451311616949e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.26451311616949e-06×40589641000000     		ar = 3625.42653359802m²