Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 115712 / 17408
↖ ↑ ↗
← N 78.630006°
E137.812500°		 ← 60.20 m → N 78.630006°
E137.815246°		 →
↑
60.21 m
↓
↑
60.21 m
↓
N 78.629464°
E137.812500°		 ← 60.20 m →
3 624 m²		 N 78.629464°
E137.815246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 115712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.882816314697266 y=0.132816314697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.882816314697266 × 217)
    floor (0.882816314697266 × 131072)
    floor (115712.5)     		tx = 115712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132816314697266 × 217)
    floor (0.132816314697266 × 131072)
    floor (17408.5)     		ty = 17408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 115712 / 17408 ti = "17/115712/17408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/115712/17408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 115712 ÷ 217
    115712 ÷ 131072     		x = 0.8828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17408 ÷ 217
    17408 ÷ 131072     		y = 0.1328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8828125 × 2 - 1) × π
    0.765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.40528188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1328125 × 2 - 1) × π
    0.734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.30710710491406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.40528188} λ = 2.40528188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30710710491406))-π/2
    2×atan(10.0453225164482)-π/2
    2×1.47157440740029-π/2
    2.94314881480058-1.57079632675     		φ = 1.37235249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.40528188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 137.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37235249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.630006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 115712 KachelY 17408 2.40528188 1.37235249 137.812500 78.630006
    Oben rechts KachelX + 1 115713 KachelY 17408 2.40532981 1.37235249 137.815246 78.630006
    Unten links KachelX 115712 KachelY + 1 17409 2.40528188 1.37234304 137.812500 78.629464
    Unten rechts KachelX + 1 115713 KachelY + 1 17409 2.40532981 1.37234304 137.815246 78.629464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37235249-1.37234304) × R
    9.44999999985541e-06 × 6371000     		dl = 60.2059499990788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37235249-1.37234304) × R
    9.44999999985541e-06 × 6371000     		dr = 60.2059499990788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.40528188-2.40532981) × cos(1.37235249) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.197143947310492 × 6371000     		do = 60.2002759529818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.40528188-2.40532981) × cos(1.37234304) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.197153211841214 × 6371000     		du = 60.2031049888901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37235249)-sin(1.37234304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197143947310492-0.197153211841214)×R²
    abs(2.40532981-2.40528188)×9.26453072219724e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.26453072219724e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.26453072219724e-06×40589641000000     		ar = 3624.49996623092m²