Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 115720 / 50184
↖ ↑ ↗
← N 38.805470°
E137.834473°		 ← 238.01 m → N 38.805470°
E137.837219°		 →
↑
237.96 m
↓
↑
237.96 m
↓
N 38.803330°
E137.834473°		 ← 238.02 m →
56 637 m²		 N 38.803330°
E137.837219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 115720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.882877349853516 y=0.382877349853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.882877349853516 × 217)
    floor (0.882877349853516 × 131072)
    floor (115720.5)     		tx = 115720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.382877349853516 × 217)
    floor (0.382877349853516 × 131072)
    floor (50184.5)     		ty = 50184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 115720 / 50184 ti = "17/115720/50184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/115720/50184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 115720 ÷ 217
    115720 ÷ 131072     		x = 0.88287353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50184 ÷ 217
    50184 ÷ 131072     		y = 0.38287353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.88287353515625 × 2 - 1) × π
    0.7657470703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.40566537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38287353515625 × 2 - 1) × π
    0.2342529296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.735927282967102
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.40566537} λ = 2.40566537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.735927282967102))-π/2
    2×atan(2.08741672131678)-π/2
    2×1.12403977497879-π/2
    2.24807954995757-1.57079632675     		φ = 0.67728322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.40566537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 137.834473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67728322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.805470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 115720 KachelY 50184 2.40566537 0.67728322 137.834473 38.805470
    Oben rechts KachelX + 1 115721 KachelY 50184 2.40571331 0.67728322 137.837219 38.805470
    Unten links KachelX 115720 KachelY + 1 50185 2.40566537 0.67724587 137.834473 38.803330
    Unten rechts KachelX + 1 115721 KachelY + 1 50185 2.40571331 0.67724587 137.837219 38.803330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67728322-0.67724587) × R
    3.7349999999936e-05 × 6371000     		dl = 237.956849999593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67728322-0.67724587) × R
    3.7349999999936e-05 × 6371000     		dr = 237.956849999593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.40566537-2.40571331) × cos(0.67728322) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.779278139372293 × 6371000     		do = 238.01160238345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.40566537-2.40571331) × cos(0.67724587) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.779301545259954 × 6371000     		du = 238.018751144009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67728322)-sin(0.67724587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.779278139372293-0.779301545259954)×R²
    abs(2.40571331-2.40566537)×2.3405887660477e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3405887660477e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3405887660477e-05×40589641000000     		ar = 56637.3417213502m²