Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 115744 / 17440
↖ ↑ ↗
← N 78.612666°
E137.900391°		 ← 60.29 m → N 78.612666°
E137.903137°		 →
↑
60.33 m
↓
↑
60.33 m
↓
N 78.612123°
E137.900391°		 ← 60.29 m →
3 638 m²		 N 78.612123°
E137.903137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 115744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.883060455322266 y=0.133060455322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.883060455322266 × 217)
    floor (0.883060455322266 × 131072)
    floor (115744.5)     		tx = 115744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133060455322266 × 217)
    floor (0.133060455322266 × 131072)
    floor (17440.5)     		ty = 17440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 115744 / 17440 ti = "17/115744/17440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/115744/17440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 115744 ÷ 217
    115744 ÷ 131072     		x = 0.883056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17440 ÷ 217
    17440 ÷ 131072     		y = 0.133056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.883056640625 × 2 - 1) × π
    0.76611328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.40681586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133056640625 × 2 - 1) × π
    0.73388671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.30557312412622
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.40681586} λ = 2.40681586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30557312412622))-π/2
    2×atan(10.0299249974688)-π/2
    2×1.47142308613162-π/2
    2.94284617226324-1.57079632675     		φ = 1.37204985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.40681586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 137.900391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37204985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.612666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 115744 KachelY 17440 2.40681586 1.37204985 137.900391 78.612666
    Oben rechts KachelX + 1 115745 KachelY 17440 2.40686379 1.37204985 137.903137 78.612666
    Unten links KachelX 115744 KachelY + 1 17441 2.40681586 1.37204038 137.900391 78.612123
    Unten rechts KachelX + 1 115745 KachelY + 1 17441 2.40686379 1.37204038 137.903137 78.612123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37204985-1.37204038) × R
    9.4699999999559e-06 × 6371000     		dl = 60.3333699997191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37204985-1.37204038) × R
    9.4699999999559e-06 × 6371000     		dr = 60.3333699997191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.40681586-2.40686379) × cos(1.37204985) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.19744063883236 × 6371000     		do = 60.2908742783832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.40681586-2.40686379) × cos(1.37204038) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.197449922405083 × 6371000     		du = 60.2937091289955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37204985)-sin(1.37204038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19744063883236-0.197449922405083)×R²
    abs(2.40686379-2.40681586)×9.28357272289571e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.28357272289571e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.28357272289571e-06×40589641000000     		ar = 3637.63714358071m²