Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1158 / 1158
↖ ↑ ↗
← S 22.917923°
E 23.554687°		 ← 18.003 km → S 22.917923°
E 23.730469°		 →
↑
17.992 km
↓
↑
17.992 km
↓
S 23.079732°
E 23.554687°		 ← 17.982 km →
323.724 km²		 S 23.079732°
E 23.730469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565673828125 y=0.565673828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565673828125 × 211)
    floor (0.565673828125 × 2048)
    floor (1158.5)     		tx = 1158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.565673828125 × 211)
    floor (0.565673828125 × 2048)
    floor (1158.5)     		ty = 1158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1158 / 1158 ti = "11/1158/1158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1158/1158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1158 ÷ 211
    1158 ÷ 2048     		x = 0.5654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1158 ÷ 211
    1158 ÷ 2048     		y = 0.5654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5654296875 × 2 - 1) × π
    0.130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41110685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5654296875 × 2 - 1) × π
    -0.130859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.411106851141602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41110685} λ = 0.41110685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.411106851141602))-π/2
    2×atan(0.6629160944748)-π/2
    2×0.585401556925823-π/2
    1.17080311385165-1.57079632675     		φ = -0.39999321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41110685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.554687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.39999321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.917923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1158 KachelY 1158 0.41110685 -0.39999321 23.554687 -22.917923
    Oben rechts KachelX + 1 1159 KachelY 1158 0.41417481 -0.39999321 23.730469 -22.917923
    Unten links KachelX 1158 KachelY + 1 1159 0.41110685 -0.40281731 23.554687 -23.079732
    Unten rechts KachelX + 1 1159 KachelY + 1 1159 0.41417481 -0.40281731 23.730469 -23.079732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.39999321--0.40281731) × R
    0.0028241 × 6371000     		dl = 17992.3411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.39999321--0.40281731) × R
    0.0028241 × 6371000     		dr = 17992.3411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41110685-0.41417481) × cos(-0.39999321) × R
    0.00306795999999998 × 0.921063638132197 × 6371000     		do = 18003.0851495838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41110685-0.41417481) × cos(-0.40281731) × R
    0.00306795999999998 × 0.9199602279276 × 6371000     		du = 17981.5179233402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.39999321)-sin(-0.40281731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921063638132197-0.9199602279276)×R²
    abs(0.41417481-0.41110685)×0.00110341020459703×R²
    0.00306795999999998×0.00110341020459703×6371000²
    0.00306795999999998×0.00110341020459703×40589641000000     		ar = 323723841.574162m²