Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 115840 / 50304
↖ ↑ ↗
← N 38.548166°
E138.164063°		 ← 238.87 m → N 38.548166°
E138.166809°		 →
↑
238.85 m
↓
↑
238.85 m
↓
N 38.546018°
E138.164063°		 ← 238.88 m →
57 054 m²		 N 38.546018°
E138.166809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 115840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.883792877197266 y=0.383792877197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.883792877197266 × 217)
    floor (0.883792877197266 × 131072)
    floor (115840.5)     		tx = 115840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.383792877197266 × 217)
    floor (0.383792877197266 × 131072)
    floor (50304.5)     		ty = 50304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 115840 / 50304 ti = "17/115840/50304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/115840/50304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 115840 ÷ 217
    115840 ÷ 131072     		x = 0.8837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50304 ÷ 217
    50304 ÷ 131072     		y = 0.3837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8837890625 × 2 - 1) × π
    0.767578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.41141780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3837890625 × 2 - 1) × π
    0.232421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.730174855012695
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.41141780} λ = 2.41141780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.730174855012695))-π/2
    2×atan(2.07544347764401)-π/2
    2×1.12179436700708-π/2
    2.24358873401417-1.57079632675     		φ = 0.67279241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.41141780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 138.164063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67279241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.548166°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 115840 KachelY 50304 2.41141780 0.67279241 138.164063 38.548166
    Oben rechts KachelX + 1 115841 KachelY 50304 2.41146574 0.67279241 138.166809 38.548166
    Unten links KachelX 115840 KachelY + 1 50305 2.41141780 0.67275492 138.164063 38.546018
    Unten rechts KachelX + 1 115841 KachelY + 1 50305 2.41146574 0.67275492 138.166809 38.546018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67279241-0.67275492) × R
    3.74899999999734e-05 × 6371000     		dl = 238.84878999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67279241-0.67275492) × R
    3.74899999999734e-05 × 6371000     		dr = 238.84878999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.41141780-2.41146574) × cos(0.67279241) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.782084564710599 × 6371000     		do = 238.868756919156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.41141780-2.41146574) × cos(0.67275492) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.782107926891056 × 6371000     		du = 238.87589233041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67279241)-sin(0.67275492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.782084564710599-0.782107926891056)×R²
    abs(2.41146574-2.41141780)×2.33621804576201e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33621804576201e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33621804576201e-05×40589641000000     		ar = 57054.3657077031m²