Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 115968 / 50432
↖ ↑ ↗
← N 38.272689°
E138.515625°		 ← 239.78 m → N 38.272689°
E138.518372°		 →
↑
239.80 m
↓
↑
239.80 m
↓
N 38.270532°
E138.515625°		 ← 239.79 m →
57 501 m²		 N 38.270532°
E138.518372°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 115968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.884769439697266 y=0.384769439697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.884769439697266 × 217)
    floor (0.884769439697266 × 131072)
    floor (115968.5)     		tx = 115968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.384769439697266 × 217)
    floor (0.384769439697266 × 131072)
    floor (50432.5)     		ty = 50432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 115968 / 50432 ti = "17/115968/50432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/115968/50432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 115968 ÷ 217
    115968 ÷ 131072     		x = 0.884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50432 ÷ 217
    50432 ÷ 131072     		y = 0.384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.884765625 × 2 - 1) × π
    0.76953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.41755372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.384765625 × 2 - 1) × π
    0.23046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.724038931861328
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.41755372} λ = 2.41755372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.724038931861328))-π/2
    2×atan(2.06274770593245)-π/2
    2×1.1193903776609-π/2
    2.23878075532181-1.57079632675     		φ = 0.66798443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.41755372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 138.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.66798443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.272689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 115968 KachelY 50432 2.41755372 0.66798443 138.515625 38.272689
    Oben rechts KachelX + 1 115969 KachelY 50432 2.41760166 0.66798443 138.518372 38.272689
    Unten links KachelX 115968 KachelY + 1 50433 2.41755372 0.66794679 138.515625 38.270532
    Unten rechts KachelX + 1 115969 KachelY + 1 50433 2.41760166 0.66794679 138.518372 38.270532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.66798443-0.66794679) × R
    3.76399999999499e-05 × 6371000     		dl = 239.804439999681m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.66798443-0.66794679) × R
    3.76399999999499e-05 × 6371000     		dr = 239.804439999681m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.41755372-2.41760166) × cos(0.66798443) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.785071713613263 × 6371000     		do = 239.781109083242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.41755372-2.41760166) × cos(0.66794679) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.785095027456781 × 6371000     		du = 239.78822973115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.66798443)-sin(0.66794679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.785071713613263-0.785095027456781)×R²
    abs(2.41760166-2.41755372)×2.3313843517947e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3313843517947e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3313843517947e-05×40589641000000     		ar = 57501.428374319m²