Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1161 / 1159
↖ ↑ ↗
← S 23.079732°
E 24.082031°		 ← 17.982 km → S 23.079732°
E 24.257813°		 →
↑
17.971 km
↓
↑
17.971 km
↓
S 23.241346°
E 24.082031°		 ← 17.960 km →
322.945 km²		 S 23.241346°
E 24.257813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567138671875 y=0.566162109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567138671875 × 211)
    floor (0.567138671875 × 2048)
    floor (1161.5)     		tx = 1161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.566162109375 × 211)
    floor (0.566162109375 × 2048)
    floor (1159.5)     		ty = 1159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1161 / 1159 ti = "11/1161/1159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1161/1159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1161 ÷ 211
    1161 ÷ 2048     		x = 0.56689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1159 ÷ 211
    1159 ÷ 2048     		y = 0.56591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56689453125 × 2 - 1) × π
    0.1337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42031074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56591796875 × 2 - 1) × π
    -0.1318359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.414174812717285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42031074} λ = 0.42031074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.414174812717285))-π/2
    2×atan(0.66088540999283)-π/2
    2×0.583989508536961-π/2
    1.16797901707392-1.57079632675     		φ = -0.40281731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42031074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.082031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40281731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.079732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1161 KachelY 1159 0.42031074 -0.40281731 24.082031 -23.079732
    Oben rechts KachelX + 1 1162 KachelY 1159 0.42337870 -0.40281731 24.257813 -23.079732
    Unten links KachelX 1161 KachelY + 1 1160 0.42031074 -0.40563801 24.082031 -23.241346
    Unten rechts KachelX + 1 1162 KachelY + 1 1160 0.42337870 -0.40563801 24.257813 -23.241346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40281731--0.40563801) × R
    0.00282070000000001 × 6371000     		dl = 17970.6797000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40281731--0.40563801) × R
    0.00282070000000001 × 6371000     		dr = 17970.6797000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42031074-0.42337870) × cos(-0.40281731) × R
    0.00306795999999998 × 0.9199602279276 × 6371000     		do = 17981.5179233402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42031074-0.42337870) × cos(-0.40563801) × R
    0.00306795999999998 × 0.91885082221011 × 6371000     		du = 17959.8335089626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40281731)-sin(-0.40563801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9199602279276-0.91885082221011)×R²
    abs(0.42337870-0.42031074)×0.00110940571749019×R²
    0.00306795999999998×0.00110940571749019×6371000²
    0.00306795999999998×0.00110940571749019×40589641000000     		ar = 322945471.409786m²