Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1167 / 1169
↖ ↑ ↗
← S 24.686952°
E 25.136719°		 ← 17.760 km → S 24.686952°
E 25.312500°		 →
↑
17.748 km
↓
↑
17.748 km
↓
S 24.846565°
E 25.136719°		 ← 17.737 km →
314.997 km²		 S 24.846565°
E 25.312500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570068359375 y=0.571044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570068359375 × 211)
    floor (0.570068359375 × 2048)
    floor (1167.5)     		tx = 1167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.571044921875 × 211)
    floor (0.571044921875 × 2048)
    floor (1169.5)     		ty = 1169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1167 / 1169 ti = "11/1167/1169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1167/1169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1167 ÷ 211
    1167 ÷ 2048     		x = 0.56982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1169 ÷ 211
    1169 ÷ 2048     		y = 0.57080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56982421875 × 2 - 1) × π
    0.1396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43871851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57080078125 × 2 - 1) × π
    -0.1416015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.444854428474121
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43871851} λ = 0.43871851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.444854428474121))-π/2
    2×atan(0.640917568590206)-π/2
    2×0.569963862466954-π/2
    1.13992772493391-1.57079632675     		φ = -0.43086860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43871851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.136719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.43086860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.686952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1167 KachelY 1169 0.43871851 -0.43086860 25.136719 -24.686952
    Oben rechts KachelX + 1 1168 KachelY 1169 0.44178647 -0.43086860 25.312500 -24.686952
    Unten links KachelX 1167 KachelY + 1 1170 0.43871851 -0.43365437 25.136719 -24.846565
    Unten rechts KachelX + 1 1168 KachelY + 1 1170 0.44178647 -0.43365437 25.312500 -24.846565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.43086860--0.43365437) × R
    0.00278577000000002 × 6371000     		dl = 17748.1406700001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.43086860--0.43365437) × R
    0.00278577000000002 × 6371000     		dr = 17748.1406700001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43871851-0.44178647) × cos(-0.43086860) × R
    0.00306795999999998 × 0.90860331284959 × 6371000     		do = 17759.535966045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43871851-0.44178647) × cos(-0.43365437) × R
    0.00306795999999998 × 0.907436283562814 × 6371000     		du = 17736.7252429288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.43086860)-sin(-0.43365437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90860331284959-0.907436283562814)×R²
    abs(0.44178647-0.43871851)×0.00116702928677537×R²
    0.00306795999999998×0.00116702928677537×6371000²
    0.00306795999999998×0.00116702928677537×40589641000000     		ar = 314996522.309249m²