Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 116736 / 51199
↖ ↑ ↗
← N 36.600094°
E140.625000°		 ← 245.20 m → N 36.600094°
E140.627747°		 →
↑
245.22 m
↓
↑
245.22 m
↓
N 36.597889°
E140.625000°		 ← 245.21 m →
60 129 m²		 N 36.597889°
E140.627747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 116736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.890628814697266 y=0.390621185302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.890628814697266 × 217)
    floor (0.890628814697266 × 131072)
    floor (116736.5)     		tx = 116736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.390621185302734 × 217)
    floor (0.390621185302734 × 131072)
    floor (51199.5)     		ty = 51199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 116736 / 51199 ti = "17/116736/51199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/116736/51199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 116736 ÷ 217
    116736 ÷ 131072     		x = 0.890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51199 ÷ 217
    51199 ÷ 131072     		y = 0.390617370605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.890625 × 2 - 1) × π
    0.78125 × 3.1415926535     		Λ = 2.45436926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.390617370605469 × 2 - 1) × π
    0.218765258789062 × 3.1415926535     		Φ = 0.687271329852745
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.45436926} λ = 2.45436926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.687271329852745))-π/2
    2×atan(1.98828275668389)-π/2
    2×1.10479423825738-π/2
    2.20958847651477-1.57079632675     		φ = 0.63879215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.45436926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 140.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.63879215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 36.600094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 116736 KachelY 51199 2.45436926 0.63879215 140.625000 36.600094
    Oben rechts KachelX + 1 116737 KachelY 51199 2.45441720 0.63879215 140.627747 36.600094
    Unten links KachelX 116736 KachelY + 1 51200 2.45436926 0.63875366 140.625000 36.597889
    Unten rechts KachelX + 1 116737 KachelY + 1 51200 2.45441720 0.63875366 140.627747 36.597889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.63879215-0.63875366) × R
    3.84900000000021e-05 × 6371000     		dl = 245.219790000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.63879215-0.63875366) × R
    3.84900000000021e-05 × 6371000     		dr = 245.219790000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.45436926-2.45441720) × cos(0.63879215) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.802816495133422 × 6371000     		do = 245.200822110171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.45436926-2.45441720) × cos(0.63875366) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.802839443284969 × 6371000     		du = 245.207831066339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.63879215)-sin(0.63875366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.802816495133422-0.802839443284969)×R²
    abs(2.45441720-2.45436926)×2.29481515466867e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29481515466867e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29481515466867e-05×40589641000000     		ar = 60128.9534803928m²