Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1168 / 1424
↖ ↑ ↗
← S 57.326521°
E 25.312500°		 ← 10.552 km → S 57.326521°
E 25.488281°		 →
↑
10.538 km
↓
↑
10.538 km
↓
S 57.421295°
E 25.312500°		 ← 10.525 km →
111.056 km²		 S 57.421295°
E 25.488281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570556640625 y=0.695556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570556640625 × 211)
    floor (0.570556640625 × 2048)
    floor (1168.5)     		tx = 1168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.695556640625 × 211)
    floor (0.695556640625 × 2048)
    floor (1424.5)     		ty = 1424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1168 / 1424 ti = "11/1168/1424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1168/1424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1168 ÷ 211
    1168 ÷ 2048     		x = 0.5703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1424 ÷ 211
    1424 ÷ 2048     		y = 0.6953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5703125 × 2 - 1) × π
    0.140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44178647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6953125 × 2 - 1) × π
    -0.390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.22718463027344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44178647} λ = 0.44178647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.22718463027344))-π/2
    2×atan(0.293116648843543)-π/2
    2×0.28512989135969-π/2
    0.57025978271938-1.57079632675     		φ = -1.00053654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44178647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.00053654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -57.326521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1168 KachelY 1424 0.44178647 -1.00053654 25.312500 -57.326521
    Oben rechts KachelX + 1 1169 KachelY 1424 0.44485443 -1.00053654 25.488281 -57.326521
    Unten links KachelX 1168 KachelY + 1 1425 0.44178647 -1.00219065 25.312500 -57.421295
    Unten rechts KachelX + 1 1169 KachelY + 1 1425 0.44485443 -1.00219065 25.488281 -57.421295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.00053654--1.00219065) × R
    0.00165411000000004 × 6371000     		dl = 10538.3348100003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.00053654--1.00219065) × R
    0.00165411000000004 × 6371000     		dr = 10538.3348100003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44178647-0.44485443) × cos(-1.00053654) × R
    0.00306796000000004 × 0.539850745277805 × 6371000     		do = 10551.9081776061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44178647-0.44485443) × cos(-1.00219065) × R
    0.00306796000000004 × 0.538457642488981 × 6371000     		du = 10524.6786278866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.00053654)-sin(-1.00219065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.539850745277805-0.538457642488981)×R²
    abs(0.44485443-0.44178647)×0.00139310278882432×R²
    0.00306796000000004×0.00139310278882432×6371000²
    0.00306796000000004×0.00139310278882432×40589641000000     		ar = 111056089.525692m²