Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1169 / 1167
↖ ↑ ↗
← S 24.367114°
E 25.488281°		 ← 17.805 km → S 24.367114°
E 25.664062°		 →
↑
17.794 km
↓
↑
17.794 km
↓
S 24.527135°
E 25.488281°		 ← 17.782 km →
316.611 km²		 S 24.527135°
E 25.664062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571044921875 y=0.570068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571044921875 × 211)
    floor (0.571044921875 × 2048)
    floor (1169.5)     		tx = 1169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.570068359375 × 211)
    floor (0.570068359375 × 2048)
    floor (1167.5)     		ty = 1167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1169 / 1167 ti = "11/1169/1167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1169/1167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1169 ÷ 211
    1169 ÷ 2048     		x = 0.57080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1167 ÷ 211
    1167 ÷ 2048     		y = 0.56982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57080078125 × 2 - 1) × π
    0.1416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44485443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56982421875 × 2 - 1) × π
    -0.1396484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.438718505322754
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44485443} λ = 0.44485443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.438718505322754))-π/2
    2×atan(0.644862279382199)-π/2
    2×0.572754982965344-π/2
    1.14550996593069-1.57079632675     		φ = -0.42528636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44485443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.488281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.42528636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.367114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1169 KachelY 1167 0.44485443 -0.42528636 25.488281 -24.367114
    Oben rechts KachelX + 1 1170 KachelY 1167 0.44792239 -0.42528636 25.664062 -24.367114
    Unten links KachelX 1169 KachelY + 1 1168 0.44485443 -0.42807926 25.488281 -24.527135
    Unten rechts KachelX + 1 1170 KachelY + 1 1168 0.44792239 -0.42807926 25.664062 -24.527135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.42528636--0.42807926) × R
    0.00279290000000004 × 6371000     		dl = 17793.5659000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.42528636--0.42807926) × R
    0.00279290000000004 × 6371000     		dr = 17793.5659000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44485443-0.44792239) × cos(-0.42528636) × R
    0.00306795999999998 × 0.910920623423066 × 6371000     		do = 17804.8300563176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44485443-0.44792239) × cos(-0.42807926) × R
    0.00306795999999998 × 0.909764772910752 × 6371000     		du = 17782.2378332269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.42528636)-sin(-0.42807926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910920623423066-0.909764772910752)×R²
    abs(0.44792239-0.44485443)×0.00115585051231415×R²
    0.00306795999999998×0.00115585051231415×6371000²
    0.00306795999999998×0.00115585051231415×40589641000000     		ar = 316610624.644791m²