Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1170 / 1170
↖ ↑ ↗
← S 24.846565°
E 25.664062°		 ← 17.737 km → S 24.846565°
E 25.839844°		 →
↑
17.725 km
↓
↑
17.725 km
↓
S 25.005973°
E 25.664062°		 ← 17.714 km →
314.186 km²		 S 25.005973°
E 25.839844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571533203125 y=0.571533203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571533203125 × 211)
    floor (0.571533203125 × 2048)
    floor (1170.5)     		tx = 1170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.571533203125 × 211)
    floor (0.571533203125 × 2048)
    floor (1170.5)     		ty = 1170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1170 / 1170 ti = "11/1170/1170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1170/1170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1170 ÷ 211
    1170 ÷ 2048     		x = 0.5712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1170 ÷ 211
    1170 ÷ 2048     		y = 0.5712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5712890625 × 2 - 1) × π
    0.142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44792239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5712890625 × 2 - 1) × π
    -0.142578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.447922390049805
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44792239} λ = 0.44792239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.447922390049805))-π/2
    2×atan(0.638954271316832)-π/2
    2×0.568570976834074-π/2
    1.13714195366815-1.57079632675     		φ = -0.43365437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44792239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.664062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.43365437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.846565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1170 KachelY 1170 0.44792239 -0.43365437 25.664062 -24.846565
    Oben rechts KachelX + 1 1171 KachelY 1170 0.45099035 -0.43365437 25.839844 -24.846565
    Unten links KachelX 1170 KachelY + 1 1171 0.44792239 -0.43643656 25.664062 -25.005973
    Unten rechts KachelX + 1 1171 KachelY + 1 1171 0.45099035 -0.43643656 25.839844 -25.005973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.43365437--0.43643656) × R
    0.00278218999999996 × 6371000     		dl = 17725.3324899998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.43365437--0.43643656) × R
    0.00278218999999996 × 6371000     		dr = 17725.3324899998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44792239-0.45099035) × cos(-0.43365437) × R
    0.00306795999999998 × 0.907436283562814 × 6371000     		do = 17736.7252429288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44792239-0.45099035) × cos(-0.43643656) × R
    0.00306795999999998 × 0.906263725425577 × 6371000     		du = 17713.8064530498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.43365437)-sin(-0.43643656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907436283562814-0.906263725425577)×R²
    abs(0.45099035-0.44792239)×0.00117255813723671×R²
    0.00306795999999998×0.00117255813723671×6371000²
    0.00306795999999998×0.00117255813723671×40589641000000     		ar = 314186433.294742m²