Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1176 / 1144
↖ ↑ ↗
← S 20.632784°
E 26.718750°		 ← 18.292 km → S 20.632784°
E 26.894531°		 →
↑
18.282 km
↓
↑
18.282 km
↓
S 20.797201°
E 26.718750°		 ← 18.272 km →
334.244 km²		 S 20.797201°
E 26.894531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574462890625 y=0.558837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574462890625 × 211)
    floor (0.574462890625 × 2048)
    floor (1176.5)     		tx = 1176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558837890625 × 211)
    floor (0.558837890625 × 2048)
    floor (1144.5)     		ty = 1144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1176 / 1144 ti = "11/1176/1144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1176/1144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1176 ÷ 211
    1176 ÷ 2048     		x = 0.57421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1144 ÷ 211
    1144 ÷ 2048     		y = 0.55859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57421875 × 2 - 1) × π
    0.1484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46633016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55859375 × 2 - 1) × π
    -0.1171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.368155389082031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46633016} λ = 0.46633016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.368155389082031))-π/2
    2×atan(0.692009642590627)-π/2
    2×0.605343153890922-π/2
    1.21068630778184-1.57079632675     		φ = -0.36011002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46633016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.718750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36011002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.632784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1176 KachelY 1144 0.46633016 -0.36011002 26.718750 -20.632784
    Oben rechts KachelX + 1 1177 KachelY 1144 0.46939812 -0.36011002 26.894531 -20.632784
    Unten links KachelX 1176 KachelY + 1 1145 0.46633016 -0.36297964 26.718750 -20.797201
    Unten rechts KachelX + 1 1177 KachelY + 1 1145 0.46939812 -0.36297964 26.894531 -20.797201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36011002--0.36297964) × R
    0.00286962000000002 × 6371000     		dl = 18282.3490200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36011002--0.36297964) × R
    0.00286962000000002 × 6371000     		dr = 18282.3490200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46633016-0.46939812) × cos(-0.36011002) × R
    0.00306795999999998 × 0.935858060802633 × 6371000     		do = 18292.2565380178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46633016-0.46939812) × cos(-0.36297964) × R
    0.00306795999999998 × 0.934843020272642 × 6371000     		du = 18272.4165830623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36011002)-sin(-0.36297964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935858060802633-0.934843020272642)×R²
    abs(0.46939812-0.46633016)×0.00101504052999091×R²
    0.00306795999999998×0.00101504052999091×6371000²
    0.00306795999999998×0.00101504052999091×40589641000000     		ar = 334244287.268243m²