Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1176 / 1176
↖ ↑ ↗
← S 25.799891°
E 26.718750°		 ← 17.598 km → S 25.799891°
E 26.894531°		 →
↑
17.586 km
↓
↑
17.586 km
↓
S 25.958045°
E 26.718750°		 ← 17.574 km →
309.263 km²		 S 25.958045°
E 26.894531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574462890625 y=0.574462890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574462890625 × 211)
    floor (0.574462890625 × 2048)
    floor (1176.5)     		tx = 1176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574462890625 × 211)
    floor (0.574462890625 × 2048)
    floor (1176.5)     		ty = 1176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1176 / 1176 ti = "11/1176/1176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1176/1176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1176 ÷ 211
    1176 ÷ 2048     		x = 0.57421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1176 ÷ 211
    1176 ÷ 2048     		y = 0.57421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57421875 × 2 - 1) × π
    0.1484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46633016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57421875 × 2 - 1) × π
    -0.1484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.466330159503906
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46633016} λ = 0.46633016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.466330159503906))-π/2
    2×atan(0.627300140750788)-π/2
    2×0.560251639511602-π/2
    1.1205032790232-1.57079632675     		φ = -0.45029305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46633016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.718750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45029305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.799891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1176 KachelY 1176 0.46633016 -0.45029305 26.718750 -25.799891
    Oben rechts KachelX + 1 1177 KachelY 1176 0.46939812 -0.45029305 26.894531 -25.799891
    Unten links KachelX 1176 KachelY + 1 1177 0.46633016 -0.45305335 26.718750 -25.958045
    Unten rechts KachelX + 1 1177 KachelY + 1 1177 0.46939812 -0.45305335 26.894531 -25.958045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45029305--0.45305335) × R
    0.00276030000000005 × 6371000     		dl = 17585.8713000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45029305--0.45305335) × R
    0.00276030000000005 × 6371000     		dr = 17585.8713000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46633016-0.46939812) × cos(-0.45029305) × R
    0.00306795999999998 × 0.900319597040296 × 6371000     		do = 17597.6226791715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46633016-0.46939812) × cos(-0.45305335) × R
    0.00306795999999998 × 0.89911480499604 × 6371000     		du = 17574.0738462111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45029305)-sin(-0.45305335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900319597040296-0.89911480499604)×R²
    abs(0.46939812-0.46633016)×0.00120479204425605×R²
    0.00306795999999998×0.00120479204425605×6371000²
    0.00306795999999998×0.00120479204425605×40589641000000     		ar = 309262660.611664m²