Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11776 / 15872
↖ ↑ ↗
← S 83.979259°
E 78.750000°		 ← 256.27 m → S 83.979259°
E 78.771973°		 →
↑
256.24 m
↓
↑
256.24 m
↓
S 83.981564°
E 78.750000°		 ← 256.17 m →
65 653 m²		 S 83.981564°
E 78.771973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.718780517578125 y=0.968780517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.718780517578125 × 214)
    floor (0.718780517578125 × 16384)
    floor (11776.5)     		tx = 11776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.968780517578125 × 214)
    floor (0.968780517578125 × 16384)
    floor (15872.5)     		ty = 15872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11776 / 15872 ti = "14/11776/15872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11776/15872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11776 ÷ 214
    11776 ÷ 16384     		x = 0.71875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15872 ÷ 214
    15872 ÷ 16384     		y = 0.96875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.71875 × 2 - 1) × π
    0.4375 × 3.1415926535     		Λ = 1.37444679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.96875 × 2 - 1) × π
    -0.9375 × 3.1415926535     		Φ = -2.94524311265625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.37444679} λ = 1.37444679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.94524311265625))-π/2
    2×atan(0.0525892731441516)-π/2
    2×0.0525408725809301-π/2
    0.10508174516186-1.57079632675     		φ = -1.46571458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.37444679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 78.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.46571458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -83.979259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11776 KachelY 15872 1.37444679 -1.46571458 78.750000 -83.979259
    Oben rechts KachelX + 1 11777 KachelY 15872 1.37483028 -1.46571458 78.771973 -83.979259
    Unten links KachelX 11776 KachelY + 1 15873 1.37444679 -1.46575480 78.750000 -83.981564
    Unten rechts KachelX + 1 11777 KachelY + 1 15873 1.37483028 -1.46575480 78.771973 -83.981564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.46571458--1.46575480) × R
    4.02200000000352e-05 × 6371000     		dl = 256.241620000224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.46571458--1.46575480) × R
    4.02200000000352e-05 × 6371000     		dr = 256.241620000224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.37444679-1.37483028) × cos(-1.46571458) × R
    0.000383490000000153 × 0.104888465058156 × 6371000     		do = 256.265049130588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.37444679-1.37483028) × cos(-1.46575480) × R
    0.000383490000000153 × 0.104848466827181 × 6371000     		du = 256.167324861096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.46571458)-sin(-1.46575480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.104888465058156-0.104848466827181)×R²
    abs(1.37483028-1.37444679)×3.99982309747943e-05×R²
    0.000383490000000153×3.99982309747943e-05×6371000²
    0.000383490000000153×3.99982309747943e-05×40589641000000     		ar = 65653.250835701m²