Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11776 / 22016
↖ ↑ ↗
← S 52.482780°
W 50.625000°		 ← 743.94 m → S 52.482780°
W 50.614014°		 →
↑
743.88 m
↓
↑
743.88 m
↓
S 52.489470°
W 50.625000°		 ← 743.83 m →
553 358 m²		 S 52.489470°
W 50.614014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359390258789062 y=0.671890258789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359390258789062 × 215)
    floor (0.359390258789062 × 32768)
    floor (11776.5)     		tx = 11776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671890258789062 × 215)
    floor (0.671890258789062 × 32768)
    floor (22016.5)     		ty = 22016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11776 / 22016 ti = "15/11776/22016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11776/22016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11776 ÷ 215
    11776 ÷ 32768     		x = 0.359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22016 ÷ 215
    22016 ÷ 32768     		y = 0.671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359375 × 2 - 1) × π
    -0.28125 × 3.1415926535     		Λ = -0.88357293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671875 × 2 - 1) × π
    -0.34375 × 3.1415926535     		Φ = -1.07992247464063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88357293} λ = -0.88357293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07992247464063))-π/2
    2×atan(0.339621853930649)-π/2
    2×0.327399505668934-π/2
    0.654799011337869-1.57079632675     		φ = -0.91599732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88357293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91599732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.482780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11776 KachelY 22016 -0.88357293 -0.91599732 -50.625000 -52.482780
    Oben rechts KachelX + 1 11777 KachelY 22016 -0.88338119 -0.91599732 -50.614014 -52.482780
    Unten links KachelX 11776 KachelY + 1 22017 -0.88357293 -0.91611408 -50.625000 -52.489470
    Unten rechts KachelX + 1 11777 KachelY + 1 22017 -0.88338119 -0.91611408 -50.614014 -52.489470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91599732--0.91611408) × R
    0.000116760000000049 × 6371000     		dl = 743.877960000312m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91599732--0.91611408) × R
    0.000116760000000049 × 6371000     		dr = 743.877960000312m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88357293--0.88338119) × cos(-0.91599732) × R
    0.000191739999999996 × 0.608999833781129 × 6371000     		do = 743.939300811077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88357293--0.88338119) × cos(-0.91611408) × R
    0.000191739999999996 × 0.60890721906018 × 6371000     		du = 743.826164933321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91599732)-sin(-0.91611408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608999833781129-0.60890721906018)×R²
    abs(-0.88338119--0.88357293)×9.26147209493466e-05×R²
    0.000191739999999996×9.26147209493466e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.26147209493466e-05×40589641000000     		ar = 553357.970437332m²