Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11776 / 2560
↖ ↑ ↗
← N 76.840817°
E 78.750000°		 ← 556.22 m → N 76.840817°
E 78.771973°		 →
↑
556.38 m
↓
↑
556.38 m
↓
N 76.835813°
E 78.750000°		 ← 556.42 m →
309 525 m²		 N 76.835813°
E 78.771973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.718780517578125 y=0.156280517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.718780517578125 × 214)
    floor (0.718780517578125 × 16384)
    floor (11776.5)     		tx = 11776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156280517578125 × 214)
    floor (0.156280517578125 × 16384)
    floor (2560.5)     		ty = 2560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11776 / 2560 ti = "14/11776/2560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11776/2560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11776 ÷ 214
    11776 ÷ 16384     		x = 0.71875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2560 ÷ 214
    2560 ÷ 16384     		y = 0.15625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.71875 × 2 - 1) × π
    0.4375 × 3.1415926535     		Λ = 1.37444679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15625 × 2 - 1) × π
    0.6875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15984494928125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.37444679} λ = 1.37444679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15984494928125))-π/2
    2×atan(8.66979329656196)-π/2
    2×1.45596078656658-π/2
    2.91192157313317-1.57079632675     		φ = 1.34112525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.37444679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 78.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34112525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.840817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11776 KachelY 2560 1.37444679 1.34112525 78.750000 76.840817
    Oben rechts KachelX + 1 11777 KachelY 2560 1.37483028 1.34112525 78.771973 76.840817
    Unten links KachelX 11776 KachelY + 1 2561 1.37444679 1.34103792 78.750000 76.835813
    Unten rechts KachelX + 1 11777 KachelY + 1 2561 1.37483028 1.34103792 78.771973 76.835813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34112525-1.34103792) × R
    8.73299999999411e-05 × 6371000     		dl = 556.379429999625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34112525-1.34103792) × R
    8.73299999999411e-05 × 6371000     		dr = 556.379429999625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.37444679-1.37483028) × cos(1.34112525) × R
    0.000383490000000153 × 0.227657249737119 × 6371000     		do = 556.215559608673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.37444679-1.37483028) × cos(1.34103792) × R
    0.000383490000000153 × 0.227742285699192 × 6371000     		du = 556.423320728894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34112525)-sin(1.34103792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227657249737119-0.227742285699192)×R²
    abs(1.37483028-1.37444679)×8.50359620737651e-05×R²
    0.000383490000000153×8.50359620737651e-05×6371000²
    0.000383490000000153×8.50359620737651e-05×40589641000000     		ar = 309524.693215872m²