Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11780 / 22020
↖ ↑ ↗
← S 52.509535°
W 50.581054°		 ← 743.49 m → S 52.509535°
W 50.570069°		 →
↑
743.43 m
↓
↑
743.43 m
↓
S 52.516221°
W 50.581054°		 ← 743.37 m →
552 690 m²		 S 52.516221°
W 50.570069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359512329101562 y=0.672012329101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359512329101562 × 215)
    floor (0.359512329101562 × 32768)
    floor (11780.5)     		tx = 11780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672012329101562 × 215)
    floor (0.672012329101562 × 32768)
    floor (22020.5)     		ty = 22020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11780 / 22020 ti = "15/11780/22020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11780/22020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11780 ÷ 215
    11780 ÷ 32768     		x = 0.3594970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22020 ÷ 215
    22020 ÷ 32768     		y = 0.6719970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3594970703125 × 2 - 1) × π
    -0.281005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.88280594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6719970703125 × 2 - 1) × π
    -0.343994140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.08068946503455
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88280594} λ = -0.88280594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08068946503455))-π/2
    2×atan(0.339361467100982)-π/2
    2×0.32716602819052-π/2
    0.654332056381041-1.57079632675     		φ = -0.91646427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88280594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.581054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91646427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.509535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11780 KachelY 22020 -0.88280594 -0.91646427 -50.581054 -52.509535
    Oben rechts KachelX + 1 11781 KachelY 22020 -0.88261420 -0.91646427 -50.570069 -52.509535
    Unten links KachelX 11780 KachelY + 1 22021 -0.88280594 -0.91658096 -50.581054 -52.516221
    Unten rechts KachelX + 1 11781 KachelY + 1 22021 -0.88261420 -0.91658096 -50.570069 -52.516221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91646427--0.91658096) × R
    0.00011669000000003 × 6371000     		dl = 743.431990000194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91646427--0.91658096) × R
    0.00011669000000003 × 6371000     		dr = 743.431990000194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88280594--0.88261420) × cos(-0.91646427) × R
    0.000191739999999996 × 0.608629396506284 × 6371000     		do = 743.486783697022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88280594--0.88261420) × cos(-0.91658096) × R
    0.000191739999999996 × 0.608536804141425 × 6371000     		du = 743.373675128919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91646427)-sin(-0.91658096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608629396506284-0.608536804141425)×R²
    abs(-0.88261420--0.88280594)×9.25923648592564e-05×R²
    0.000191739999999996×9.25923648592564e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.25923648592564e-05×40589641000000     		ar = 552689.815505629m²