Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11784 / 1544
↖ ↑ ↗
← N 81.065957°
E 78.925781°		 ← 379.42 m → N 81.065957°
E 78.947754°		 →
↑
379.52 m
↓
↑
379.52 m
↓
N 81.062544°
E 78.925781°		 ← 379.57 m →
144 027 m²		 N 81.062544°
E 78.947754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.719268798828125 y=0.094268798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.719268798828125 × 214)
    floor (0.719268798828125 × 16384)
    floor (11784.5)     		tx = 11784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.094268798828125 × 214)
    floor (0.094268798828125 × 16384)
    floor (1544.5)     		ty = 1544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11784 / 1544 ti = "14/11784/1544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11784/1544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11784 ÷ 214
    11784 ÷ 16384     		x = 0.71923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1544 ÷ 214
    1544 ÷ 16384     		y = 0.09423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.71923828125 × 2 - 1) × π
    0.4384765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.37751475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09423828125 × 2 - 1) × π
    0.8115234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.54947606939307
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.37751475} λ = 1.37751475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54947606939307))-π/2
    2×atan(12.8003955064942)-π/2
    2×1.49283209222535-π/2
    2.98566418445071-1.57079632675     		φ = 1.41486786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.37751475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 78.925781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41486786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.065957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11784 KachelY 1544 1.37751475 1.41486786 78.925781 81.065957
    Oben rechts KachelX + 1 11785 KachelY 1544 1.37789824 1.41486786 78.947754 81.065957
    Unten links KachelX 11784 KachelY + 1 1545 1.37751475 1.41480829 78.925781 81.062544
    Unten rechts KachelX + 1 11785 KachelY + 1 1545 1.37789824 1.41480829 78.947754 81.062544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41486786-1.41480829) × R
    5.95699999998978e-05 × 6371000     		dl = 379.520469999349m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41486786-1.41480829) × R
    5.95699999998978e-05 × 6371000     		dr = 379.520469999349m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.37751475-1.37789824) × cos(1.41486786) × R
    0.000383489999999931 × 0.155297368516921 × 6371000     		do = 379.424827608553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.37751475-1.37789824) × cos(1.41480829) × R
    0.000383489999999931 × 0.155356215524291 × 6371000     		du = 379.568603487308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41486786)-sin(1.41480829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155297368516921-0.155356215524291)×R²
    abs(1.37789824-1.37751475)×5.88470073702996e-05×R²
    0.000383489999999931×5.88470073702996e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.88470073702996e-05×40589641000000     		ar = 144026.771890257m²