Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11808 / 22048
↖ ↑ ↗
← S 52.696361°
W 50.273437°		 ← 740.36 m → S 52.696361°
W 50.262451°		 →
↑
740.31 m
↓
↑
740.31 m
↓
S 52.703019°
W 50.273437°		 ← 740.25 m →
548 055 m²		 S 52.703019°
W 50.262451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360366821289062 y=0.672866821289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360366821289062 × 215)
    floor (0.360366821289062 × 32768)
    floor (11808.5)     		tx = 11808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672866821289062 × 215)
    floor (0.672866821289062 × 32768)
    floor (22048.5)     		ty = 22048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11808 / 22048 ti = "15/11808/22048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11808/22048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11808 ÷ 215
    11808 ÷ 32768     		x = 0.3603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22048 ÷ 215
    22048 ÷ 32768     		y = 0.6728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3603515625 × 2 - 1) × π
    -0.279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.87743701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6728515625 × 2 - 1) × π
    -0.345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.08605839779199
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87743701} λ = -0.87743701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08605839779199))-π/2
    2×atan(0.337544340583644)-π/2
    2×0.325535661089015-π/2
    0.65107132217803-1.57079632675     		φ = -0.91972500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87743701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.273437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91972500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.696361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11808 KachelY 22048 -0.87743701 -0.91972500 -50.273437 -52.696361
    Oben rechts KachelX + 1 11809 KachelY 22048 -0.87724526 -0.91972500 -50.262451 -52.696361
    Unten links KachelX 11808 KachelY + 1 22049 -0.87743701 -0.91984120 -50.273437 -52.703019
    Unten rechts KachelX + 1 11809 KachelY + 1 22049 -0.87724526 -0.91984120 -50.262451 -52.703019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91972500--0.91984120) × R
    0.000116200000000011 × 6371000     		dl = 740.310200000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91972500--0.91984120) × R
    0.000116200000000011 × 6371000     		dr = 740.310200000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87743701--0.87724526) × cos(-0.91972500) × R
    0.000191749999999935 × 0.606038924178641 × 6371000     		do = 740.36093680415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87743701--0.87724526) × cos(-0.91984120) × R
    0.000191749999999935 × 0.605946490541577 × 6371000     		du = 740.248016245093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91972500)-sin(-0.91984120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606038924178641-0.605946490541577)×R²
    abs(-0.87724526--0.87743701)×9.24336370636825e-05×R²
    0.000191749999999935×9.24336370636825e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.24336370636825e-05×40589641000000     		ar = 548054.955693398m²