Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1183 / 1185
↖ ↑ ↗
← S 27.215556°
E 27.949219°		 ← 17.382 km → S 27.215556°
E 28.125000°		 →
↑
17.370 km
↓
↑
17.370 km
↓
S 27.371767°
E 27.949219°		 ← 17.358 km →
301.713 km²		 S 27.371767°
E 28.125000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577880859375 y=0.578857421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577880859375 × 211)
    floor (0.577880859375 × 2048)
    floor (1183.5)     		tx = 1183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578857421875 × 211)
    floor (0.578857421875 × 2048)
    floor (1185.5)     		ty = 1185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1183 / 1185 ti = "11/1183/1185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1183/1185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1183 ÷ 211
    1183 ÷ 2048     		x = 0.57763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1185 ÷ 211
    1185 ÷ 2048     		y = 0.57861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57763671875 × 2 - 1) × π
    0.1552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.48780589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57861328125 × 2 - 1) × π
    -0.1572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.493941813685059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48780589} λ = 0.48780589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.493941813685059))-π/2
    2×atan(0.610216288294844)-π/2
    2×0.547897631599149-π/2
    1.0957952631983-1.57079632675     		φ = -0.47500106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48780589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.949219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47500106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.215556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1183 KachelY 1185 0.48780589 -0.47500106 27.949219 -27.215556
    Oben rechts KachelX + 1 1184 KachelY 1185 0.49087385 -0.47500106 28.125000 -27.215556
    Unten links KachelX 1183 KachelY + 1 1186 0.48780589 -0.47772746 27.949219 -27.371767
    Unten rechts KachelX + 1 1184 KachelY + 1 1186 0.49087385 -0.47772746 28.125000 -27.371767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47500106--0.47772746) × R
    0.00272640000000002 × 6371000     		dl = 17369.8944000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47500106--0.47772746) × R
    0.00272640000000002 × 6371000     		dr = 17369.8944000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48780589-0.49087385) × cos(-0.47500106) × R
    0.00306795999999998 × 0.889292236843915 × 6371000     		do = 17382.0821927474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48780589-0.49087385) × cos(-0.47772746) × R
    0.00306795999999998 × 0.88804204310942 × 6371000     		du = 17357.6459395682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47500106)-sin(-0.47772746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889292236843915-0.88804204310942)×R²
    abs(0.49087385-0.48780589)×0.00125019373449498×R²
    0.00306795999999998×0.00125019373449498×6371000²
    0.00306795999999998×0.00125019373449498×40589641000000     		ar = 301712891.464001m²