Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1184 / 3232
↖ ↑ ↗
← N 35.460670°
W127.968750°		 ← 3 980.12 m → N 35.460670°
W127.924805°		 →
↑
3 981.05 m
↓
↑
3 981.05 m
↓
N 35.424868°
W127.968750°		 ← 3 981.89 m →
15 848 557 m²		 N 35.424868°
W127.924805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.14459228515625 y=0.39459228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.14459228515625 × 213)
    floor (0.14459228515625 × 8192)
    floor (1184.5)     		tx = 1184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.39459228515625 × 213)
    floor (0.39459228515625 × 8192)
    floor (3232.5)     		ty = 3232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1184 / 3232 ti = "13/1184/3232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1184/3232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1184 ÷ 213
    1184 ÷ 8192     		x = 0.14453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3232 ÷ 213
    3232 ÷ 8192     		y = 0.39453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14453125 × 2 - 1) × π
    -0.7109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.23347603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.39453125 × 2 - 1) × π
    0.2109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.662679700347656
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23347603} λ = -2.23347603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.662679700347656))-π/2
    2×atan(1.93998395097488)-π/2
    2×1.09485088619804-π/2
    2.18970177239608-1.57079632675     		φ = 0.61890545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23347603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.968750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.61890545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 35.460670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1184 KachelY 3232 -2.23347603 0.61890545 -127.968750 35.460670
    Oben rechts KachelX + 1 1185 KachelY 3232 -2.23270904 0.61890545 -127.924805 35.460670
    Unten links KachelX 1184 KachelY + 1 3233 -2.23347603 0.61828058 -127.968750 35.424868
    Unten rechts KachelX + 1 1185 KachelY + 1 3233 -2.23270904 0.61828058 -127.924805 35.424868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.61890545-0.61828058) × R
    0.00062487 × 6371000     		dl = 3981.04677m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.61890545-0.61828058) × R
    0.00062487 × 6371000     		dr = 3981.04677m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23347603--2.23270904) × cos(0.61890545) × R
    0.000766989999999801 × 0.81451394104121 × 6371000     		do = 3980.1169075083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23347603--2.23270904) × cos(0.61828058) × R
    0.000766989999999801 × 0.814876296569074 × 6371000     		du = 3981.8875553638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.61890545)-sin(0.61828058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.81451394104121-0.814876296569074)×R²
    abs(-2.23270904--2.23347603)×0.000362355527863678×R²
    0.000766989999999801×0.000362355527863678×6371000²
    0.000766989999999801×0.000362355527863678×40589641000000     		ar = 15848556.5905106m²