Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11840 / 1600
↖ ↑ ↗
← N 80.872827°
E 80.156250°		 ← 387.56 m → N 80.872827°
E 80.178222°		 →
↑
387.61 m
↓
↑
387.61 m
↓
N 80.869341°
E 80.156250°		 ← 387.70 m →
150 251 m²		 N 80.869341°
E 80.178222°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.722686767578125 y=0.097686767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.722686767578125 × 214)
    floor (0.722686767578125 × 16384)
    floor (11840.5)     		tx = 11840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.097686767578125 × 214)
    floor (0.097686767578125 × 16384)
    floor (1600.5)     		ty = 1600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11840 / 1600 ti = "14/11840/1600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11840/1600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11840 ÷ 214
    11840 ÷ 16384     		x = 0.72265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1600 ÷ 214
    1600 ÷ 16384     		y = 0.09765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.72265625 × 2 - 1) × π
    0.4453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.39899048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09765625 × 2 - 1) × π
    0.8046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.52800033836328
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.39899048} λ = 1.39899048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52800033836328))-π/2
    2×atan(12.528428453837)-π/2
    2×1.49114671854133-π/2
    2.98229343708265-1.57079632675     		φ = 1.41149711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.39899048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 80.156250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41149711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.872827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11840 KachelY 1600 1.39899048 1.41149711 80.156250 80.872827
    Oben rechts KachelX + 1 11841 KachelY 1600 1.39937397 1.41149711 80.178222 80.872827
    Unten links KachelX 11840 KachelY + 1 1601 1.39899048 1.41143627 80.156250 80.869341
    Unten rechts KachelX + 1 11841 KachelY + 1 1601 1.39937397 1.41143627 80.178222 80.869341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41149711-1.41143627) × R
    6.08399999999509e-05 × 6371000     		dl = 387.611639999687m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41149711-1.41143627) × R
    6.08399999999509e-05 × 6371000     		dr = 387.611639999687m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.39899048-1.39937397) × cos(1.41149711) × R
    0.000383490000000153 × 0.15862633525071 × 6371000     		do = 387.558208368187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.39899048-1.39937397) × cos(1.41143627) × R
    0.000383490000000153 × 0.158686404642901 × 6371000     		du = 387.704970795616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41149711)-sin(1.41143627))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15862633525071-0.158686404642901)×R²
    abs(1.39937397-1.39899048)×6.00693921917472e-05×R²
    0.000383490000000153×6.00693921917472e-05×6371000²
    0.000383490000000153×6.00693921917472e-05×40589641000000     		ar = 150250.516198772m²