Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11840 / 20032
↖ ↑ ↗
← S 37.160316°
W 49.921875°		 ← 973.58 m → S 37.160316°
W 49.910889°		 →
↑
973.55 m
↓
↑
973.55 m
↓
S 37.169072°
W 49.921875°		 ← 973.47 m →
947 780 m²		 S 37.169072°
W 49.910889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361343383789062 y=0.611343383789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361343383789062 × 215)
    floor (0.361343383789062 × 32768)
    floor (11840.5)     		tx = 11840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.611343383789062 × 215)
    floor (0.611343383789062 × 32768)
    floor (20032.5)     		ty = 20032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11840 / 20032 ti = "15/11840/20032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11840/20032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11840 ÷ 215
    11840 ÷ 32768     		x = 0.361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20032 ÷ 215
    20032 ÷ 32768     		y = 0.611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361328125 × 2 - 1) × π
    -0.27734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.87130109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.611328125 × 2 - 1) × π
    -0.22265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.699495239255859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87130109} λ = -0.87130109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.699495239255859))-π/2
    2×atan(0.496836023830374)-π/2
    2×0.461113225993472-π/2
    0.922226451986944-1.57079632675     		φ = -0.64856987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87130109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.64856987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.160316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11840 KachelY 20032 -0.87130109 -0.64856987 -49.921875 -37.160316
    Oben rechts KachelX + 1 11841 KachelY 20032 -0.87110934 -0.64856987 -49.910889 -37.160316
    Unten links KachelX 11840 KachelY + 1 20033 -0.87130109 -0.64872268 -49.921875 -37.169072
    Unten rechts KachelX + 1 11841 KachelY + 1 20033 -0.87110934 -0.64872268 -49.910889 -37.169072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.64856987--0.64872268) × R
    0.000152810000000003 × 6371000     		dl = 973.552510000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.64856987--0.64872268) × R
    0.000152810000000003 × 6371000     		dr = 973.552510000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87130109--0.87110934) × cos(-0.64856987) × R
    0.000191750000000046 × 0.796948479384723 × 6371000     		do = 973.583542644427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87130109--0.87110934) × cos(-0.64872268) × R
    0.000191750000000046 × 0.796856165614896 × 6371000     		du = 973.470768519891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.64856987)-sin(-0.64872268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.796948479384723-0.796856165614896)×R²
    abs(-0.87110934--0.87130109)×9.23137698265464e-05×R²
    0.000191750000000046×9.23137698265464e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.23137698265464e-05×40589641000000     		ar = 947779.807714838m²