Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1185 / 1183
↖ ↑ ↗
← S 26.902477°
E 28.300781°		 ← 17.431 km → S 26.902477°
E 28.476563°		 →
↑
17.419 km
↓
↑
17.419 km
↓
S 27.059126°
E 28.300781°		 ← 17.406 km →
303.407 km²		 S 27.059126°
E 28.476563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578857421875 y=0.577880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578857421875 × 211)
    floor (0.578857421875 × 2048)
    floor (1185.5)     		tx = 1185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.577880859375 × 211)
    floor (0.577880859375 × 2048)
    floor (1183.5)     		ty = 1183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1185 / 1183 ti = "11/1185/1183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1185/1183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1185 ÷ 211
    1185 ÷ 2048     		x = 0.57861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1183 ÷ 211
    1183 ÷ 2048     		y = 0.57763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57861328125 × 2 - 1) × π
    0.1572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.49394181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57763671875 × 2 - 1) × π
    -0.1552734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.487805890533691
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49394181} λ = 0.49394181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.487805890533691))-π/2
    2×atan(0.613972039261667)-π/2
    2×0.550629764100038-π/2
    1.10125952820008-1.57079632675     		φ = -0.46953680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49394181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.300781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46953680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.902477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1185 KachelY 1183 0.49394181 -0.46953680 28.300781 -26.902477
    Oben rechts KachelX + 1 1186 KachelY 1183 0.49700978 -0.46953680 28.476563 -26.902477
    Unten links KachelX 1185 KachelY + 1 1184 0.49394181 -0.47227084 28.300781 -27.059126
    Unten rechts KachelX + 1 1186 KachelY + 1 1184 0.49700978 -0.47227084 28.476563 -27.059126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46953680--0.47227084) × R
    0.00273404000000005 × 6371000     		dl = 17418.5688400003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46953680--0.47227084) × R
    0.00273404000000005 × 6371000     		dr = 17418.5688400003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49394181-0.49700978) × cos(-0.46953680) × R
    0.00306797000000003 × 0.891777969470339 × 6371000     		do = 17430.7250711211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49394181-0.49700978) × cos(-0.47227084) × R
    0.00306797000000003 × 0.890537558006442 × 6371000     		du = 17406.4799429139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46953680)-sin(-0.47227084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891777969470339-0.890537558006442)×R²
    abs(0.49700978-0.49394181)×0.00124041146389675×R²
    0.00306797000000003×0.00124041146389675×6371000²
    0.00306797000000003×0.00124041146389675×40589641000000     		ar = 303407315.861945m²