Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 118783 / 53247
↖ ↑ ↗
← N 31.954493°
E146.247253°		 ← 259.14 m → N 31.954493°
E146.250000°		 →
↑
259.17 m
↓
↑
259.17 m
↓
N 31.952162°
E146.247253°		 ← 259.15 m →
67 164 m²		 N 31.952162°
E146.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906246185302734 y=0.406246185302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906246185302734 × 217)
    floor (0.906246185302734 × 131072)
    floor (118783.5)     		tx = 118783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406246185302734 × 217)
    floor (0.406246185302734 × 131072)
    floor (53247.5)     		ty = 53247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118783 / 53247 ti = "17/118783/53247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118783/53247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118783 ÷ 217
    118783 ÷ 131072     		x = 0.906242370605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53247 ÷ 217
    53247 ÷ 131072     		y = 0.406242370605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906242370605469 × 2 - 1) × π
    0.812484741210938 × 3.1415926535     		Λ = 2.55249609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406242370605469 × 2 - 1) × π
    0.187515258789062 × 3.1415926535     		Φ = 0.58909655943087
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55249609} λ = 2.55249609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.58909655943087))-π/2
    2×atan(1.80235935506755)-π/2
    2×1.06425371722064-π/2
    2.12850743444128-1.57079632675     		φ = 0.55771111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55249609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.247253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55771111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.954493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118783 KachelY 53247 2.55249609 0.55771111 146.247253 31.954493
    Oben rechts KachelX + 1 118784 KachelY 53247 2.55254403 0.55771111 146.250000 31.954493
    Unten links KachelX 118783 KachelY + 1 53248 2.55249609 0.55767043 146.247253 31.952162
    Unten rechts KachelX + 1 118784 KachelY + 1 53248 2.55254403 0.55767043 146.250000 31.952162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55771111-0.55767043) × R
    4.06799999999041e-05 × 6371000     		dl = 259.172279999389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55771111-0.55767043) × R
    4.06799999999041e-05 × 6371000     		dr = 259.172279999389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55249609-2.55254403) × cos(0.55771111) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.848468717337174 × 6371000     		do = 259.144185859387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55249609-2.55254403) × cos(0.55767043) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.848490246343458 × 6371000     		du = 259.150761372063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55771111)-sin(0.55767043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848468717337174-0.848490246343458)×R²
    abs(2.55254403-2.55249609)×2.15290062846041e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.15290062846041e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.15290062846041e-05×40589641000000     		ar = 67163.841602469m²