Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118800 / 20496
↖ ↑ ↗
← N 76.830808°
E146.293945°		 ← 69.58 m → N 76.830808°
E146.296692°		 →
↑
69.57 m
↓
↑
69.57 m
↓
N 76.830183°
E146.293945°		 ← 69.59 m →
4 841 m²		 N 76.830183°
E146.296692°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906375885009766 y=0.156375885009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906375885009766 × 217)
    floor (0.906375885009766 × 131072)
    floor (118800.5)     		tx = 118800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156375885009766 × 217)
    floor (0.156375885009766 × 131072)
    floor (20496.5)     		ty = 20496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118800 / 20496 ti = "17/118800/20496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118800/20496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118800 ÷ 217
    118800 ÷ 131072     		x = 0.9063720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20496 ÷ 217
    20496 ÷ 131072     		y = 0.1563720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9063720703125 × 2 - 1) × π
    0.812744140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.55331102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1563720703125 × 2 - 1) × π
    0.687255859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.15907795888733
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55331102} λ = 2.55331102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15907795888733))-π/2
    2×atan(8.66314619784251)-π/2
    2×1.45587344849366-π/2
    2.91174689698732-1.57079632675     		φ = 1.34095057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55331102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.293945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34095057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.830808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118800 KachelY 20496 2.55331102 1.34095057 146.293945 76.830808
    Oben rechts KachelX + 1 118801 KachelY 20496 2.55335896 1.34095057 146.296692 76.830808
    Unten links KachelX 118800 KachelY + 1 20497 2.55331102 1.34093965 146.293945 76.830183
    Unten rechts KachelX + 1 118801 KachelY + 1 20497 2.55335896 1.34093965 146.296692 76.830183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34095057-1.34093965) × R
    1.09200000000254e-05 × 6371000     		dl = 69.5713200001615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34095057-1.34093965) × R
    1.09200000000254e-05 × 6371000     		dr = 69.5713200001615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55331102-2.55335896) × cos(1.34095057) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227827339398414 × 6371000     		do = 69.5843337279461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55331102-2.55335896) × cos(1.34093965) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227837972205728 × 6371000     		du = 69.5875812609882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34095057)-sin(1.34093965))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227827339398414-0.227837972205728)×R²
    abs(2.55335896-2.55331102)×1.06328073136985e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06328073136985e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06328073136985e-05×40589641000000     		ar = 4841.1869163965m²